Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
é diferenciável e calcular sua derivada.
Conteúdo envolvido: domínio de uma função quociente, regra do quociente (ou produto e cadeia) e simplificação de potências.
Conteúdo envolvido: domínio de uma função quociente, regra do quociente (ou produto e cadeia) e simplificação de potências.
Passo 2
Para que
esteja bem definida precisamos que o denominador não seja zero, isto é
Como numerador e denominador (afinal potências de polinômios) são diferenciáveis em todo o seu domínio,
será diferenciável em
Passo 3
Para calcular
é conveniente reescrever
e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia.
Passo 4
Derivando em dois termos:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo,
Passo 5
Fatorando
:
Expandindo e simplificando o numerador em termos de
, chega-se a
Resposta
A função
é diferenciável em todos os
tais que
e sua derivada é