Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
f(x)=4x - x^4l(x^3+2r)^2025
é diferenciável e calcular sua derivada.
Conteúdo envolvido: domínio de uma função quociente, regra do quociente (ou produto e cadeia) e simplificação de potências.

Passo 2

Para que f(x) esteja bem definida precisamos que o denominador não seja zero, isto é
x^3+2neq 0 Longrightarrow xneq -raiz[3]2
Como numerador e denominador (afinal potências de polinômios) são diferenciáveis em todo o seu domínio, f será diferenciável em
Rsetminusl-raiz[3]2r

Passo 3

Para calcular f'(x) é conveniente reescrever
f(x) = l(4x - x^4r),(x^3+2)^-2025
e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 4

Derivando em dois termos:
  1. Derivada de 4x - x^4 é 4 - 4x^3.
  2. Derivada de (x^3+2)^-2025 é -2025,(x^3+2)^-2026cdot 3x^2.
    Logo,
f'(x) =(4 - 4x^3),(x^3+2)^-2025 +(4x - x^4)l[-2025,(x^3+2)^-2026cdot 3x^2r]

Passo 5

Fatorando (x^3+2)^-2026:
f'(x) =(4 - 4x^3)(x^3+2)-2025cdot3x^2(4x - x^4) l(x^3+2r)^2026
Expandindo e simplificando o numerador em termos de t=x^3, chega-se a
f'(x) =6071,x^6-24304,x^3+8 l(x^3+2r)^2026

Resposta

A função f é diferenciável em todos os x tais que
xneq -raiz[3]2,
e sua derivada é
f'(x) =6071,x^6-24304,x^3+8 l(x^3+2r)^2026

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