[2.0 pt ] Calcule o valor para a integral de linha
, onde
é o triângulo de
a
a
a
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial é
(observação:
é o mesmo que
), e
é o triângulo fechado formado pelos vértices, na ordem dada:
Informações relevantes fornecidas:
O contorno
é a curva fechada que percorre esses três segmentos na ordem apresentada (portanto a orientação é a indicada pelo enunciado).
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Uma forma direta seria parametrizar cada segmento do triângulo e somar três integrais de linha. Mas há um atalho poderoso que costuma simplificar muito esse tipo de integral: o Teorema de Green. Vou explicar o teorema e porque podemos usá-lo aqui.
Uma forma direta seria parametrizar cada segmento do triângulo e somar três integrais de linha. Mas há um atalho poderoso que costuma simplificar muito esse tipo de integral: o Teorema de Green. Vou explicar o teorema e porque podemos usá-lo aqui.
Teorema de Green (forma planeadora): se
é uma curva fechada simples, orientada positivamente (no sentido anti-horário), que limita uma região
no plano, e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Explicando as partes:
é a forma que aparece em
. A expressão
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Verificações para aplicar Green:
- O contorno
é fechado e simples (é um triângulo). A ordem dada corresponde a orientação anti-horária (positiva) — podemos confirmar mentalmente desenhando os pontos: isso é positivo. -
e têm derivadas parciais contínuas em todo (são suaves), então estão satisfeitas as hipóteses do teorema.
Portanto podemos trocar a integral de linha pela integral dupla sobre a região
:
Passo 3
Calcule as derivadas parciais que aparecem no integrando.
A derivada de em relação a
é a conhecida fórmula
A derivada de
Como
não depende de
, temos
A função
não depende de
, logo
Substituindo:
Passo 4
Descrever a região
limitada por
e montar a integral dupla.
A região é o triângulo com vértices
,
,
. Para escrever limites convenientes em coordenadas
: para cada
entre
e
, o
varia entre a reta inferior que liga
a
e a reta superior que liga
a
.
A região
- A reta inferior tem equação
(passa por e ). - A reta superior tem equação
(passa por e ; calculei a partir da forma ).
Logo os limites são
A integral dupla fica
Passo 5
Executar a integral interna em
.
Como a função integranda depende só de
, ao integrar em
trazemos esse fator como constante:
Como a função integranda
Passo 6
Simplificar e separar para integrar em
.
Temos então
Temos então
Separe a integral linearmente:
Passo 7
Calcular cada uma das integrais em
.
- A primeira é a integral da função arco-tangente:
- A segunda usa substituição. Tome
, então , ou seja . Quando temos ; quando temos . Assim
Passo 8
Combinar resultados e simplificar.
Substituindo na expressão do Passo 6:
Substituindo na expressão do Passo 6:
Esse é o valor final da integral sobre o contorno
. Boa — a conta fechou bem!