[2.0 pt ] Calcule o valor para a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \mathbf{F}(x, y)=\left\langle\sqrt{x^{2}+1}, \operatorname{tg}^{-1} x\right\rangle, C é o triângulo de (0,0) a (1,1) a (0,2) a (0,0).

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}
onde a campo vetorial é
\vec{F}(x,y)=\left\langle \sqrt{x^{2}+1},\\ \operatorname{tg}^{-1}x\right\rangle
(observação: \operatorname{tg}^{-1}x é o mesmo que \arctan x), e C é o triângulo fechado formado pelos vértices, na ordem dada:
(0,0)\to(1,1)\to(0,2)\to(0,0).
Informações relevantes fornecidas:
P(x,y)=\sqrt{x^{2}+1},\qquad Q(x,y)=\arctan x.
O contorno C é a curva fechada que percorre esses três segmentos na ordem apresentada (portanto a orientação é a indicada pelo enunciado).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Uma forma direta seria parametrizar cada segmento do triângulo e somar três integrais de linha. Mas há um atalho poderoso que costuma simplificar muito esse tipo de integral: o Teorema de Green. Vou explicar o teorema e porque podemos usá-lo aqui.
Teorema de Green (forma planeadora): se C é uma curva fechada simples, orientada positivamente (no sentido anti-horário), que limita uma região D no plano, e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando as partes: P\,dx+Q\,dy é a forma que aparece em \vec{F}\cdot d\vec{r}. A expressão \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
Verificações para aplicar Green:
  • O contorno C é fechado e simples (é um triângulo). A ordem dada (0,0)\to(1,1)\to(0,2)\to(0,0) corresponde a orientação anti-horária (positiva) — podemos confirmar mentalmente desenhando os pontos: isso é positivo.
  • P(x,y)=\sqrt{x^{2}+1} e Q(x,y)=\arctan x têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2 (são suaves), então estão satisfeitas as hipóteses do teorema.
Portanto podemos trocar a integral de linha pela integral dupla sobre a região D:
\oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{D} \left(\frac{\partial}{\partial x}\big(\arctan x\big) - \frac{\partial}{\partial y}\big(\sqrt{x^2+1}\big)\right)\,dA.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais que aparecem no integrando.
A derivada de \arctan x em relação a x é a conhecida fórmula
\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^{2}}.
Como \arctan x não depende de y, temos
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{1+x^{2}}.
A função P(x,y)=\sqrt{x^{2}+1} não depende de y, logo
\frac{\partial P}{\partial y}=0.
Substituindo:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{1+x^{2}}-0=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Descrever a região D limitada por C e montar a integral dupla.
A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,1), (0,2). Para escrever limites convenientes em coordenadas x,y: para cada x entre 0 e 1, o y varia entre a reta inferior que liga (0,0) a (1,1) e a reta superior que liga (1,1) a (0,2).
  • A reta inferior tem equação y=x (passa por (0,0) e (1,1)).
  • A reta superior tem equação y=-x+2 (passa por (1,1) e (0,2); calculei a partir da forma y = mx + b).
Logo os limites são
0\le x\le 1,\qquad x\le y\le -x+2.
A integral dupla fica
\iint_{D} \frac{1}{1+x^{2}}\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x}^{-x+2} \frac{1}{1+x^{2}}\,dy\right)dx.

Passo 5

Executar a integral interna em y.
Como a função integranda \frac{1}{1+x^{2}} depende só de x, ao integrar em y trazemos esse fator como constante:
\int_{y=x}^{-x+2} \frac{1}{1+x^{2}}\,dy = \frac{1}{1+x^{2}}\big[ y \big]_{y=x}^{y=-x+2} = \frac{(-x+2)-x}{1+x^{2}} = \frac{2-2x}{1+x^{2}}.

Passo 6

Simplificar e separar para integrar em x.
Temos então
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{1} \frac{2-2x}{1+x^{2}}\,dx = 2\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+x^{2}}\,dx.
Separe a integral linearmente:
2\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+x^{2}}\,dx = 2\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx \;-\; \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx\right).

Passo 7

Calcular cada uma das integrais em x.
  1. A primeira é a integral da função arco-tangente:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \big[\arctan x\big]_{0}^{1} = \arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.
  1. A segunda usa substituição. Tome u=1+x^{2}, então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=2. Assim
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\big[\ln u\big]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 8

Combinar resultados e simplificar.
Substituindo na expressão do Passo 6:
2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2\right) = 2\cdot\frac{\pi}{4} - 2\cdot\frac{1}{2}\ln 2 = \frac{\pi}{2} - \ln 2.
Esse é o valor final da integral sobre o contorno C. Boa — a conta fechou bem!

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}-\ln 2

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