Por meio de determinação do fator integrante, resolva a EDO dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede que a resolvamos por meio da determinação do fator integrante. Informações relevantes que temos:
A solução geral buscada é a família de funções
que satisfazem a equação para
.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão
identificando
e
. Reescrevendo:
Portanto
Explicação do que representam:
é a função que multiplica
na forma padrão e
é o termo independente. O método do fator integrante usa
para construir
.
Passo 3
Apresento a fórmula do fator integrante e por que ela funciona. O fator integrante é definido por
Motivação curta e didática: ao multiplicar a equação por
obtemos
e a escolha
faz com que o lado esquerdo seja exatamente
(produto
diferenciado), o que facilita integrar ambos os lados.
Passo 4
Calculo o fator integrante usando
:
Usando propriedades de logaritmo e exponencial:
Como a equação original está definida para
, podemos trabalhar em cada ramo
ou
. Para simplificar a notação escolho
entendendo que a solução vale para
(qualquer sinal de
pode ser absorvido na constante de integração quando necessário).
Passo 5
Multiplico a equação original por
. Fazendo isso obtenho:
Simplificando os fatores de potências:
Agora verifico que o lado esquerdo é de fato a derivada do produto
. Pelo produto:
que é exatamente
. Logo a equação multiplicada fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. No lado direito calculo a primitiva cuidadosamente: para
com
,
. Aqui
, então
Não esqueça da constante de integração; portanto
onde
é constante arbitrária real.
Passo 7
Isolo
dividindo por
(ou multiplicando por
):
Distribuindo os fatores de potência:
Comentário: essa é a solução geral da EDO no domínio
. Podemos também escrever
como
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas bom na prova): calculo
a partir de
:
Substituindo em
:
Calculando cada termo:
Somando,
Isso coincide com o lado direito
, confirmando a solução.