Por meio de determinação do fator integrante, resolva a EDO dada por y^{\prime}-\frac{4}{x} y=-\frac{2}{x^{3}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' - \frac{4}{x}\,y = -\frac{2}{x^{3}},
e pede que a resolvamos por meio da determinação do fator integrante. Informações relevantes que temos:
\text{(i) a equação está na forma } y' + P(x)\,y = Q(x);çãá
\text{(ii) precisamos encontrar um fator integrante } \mu(x) \text{ que torne o lado esquerdo a derivada de } \mu(x)y.
A solução geral buscada é a família de funções y(x) que satisfazem a equação para x\neq 0.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão y' + P(x)\,y = Q(x) identificando P e Q. Reescrevendo:
y' + \left(-\frac{4}{x}\right) y = -\frac{2}{x^{3}}.
Portanto
P(x) = -\frac{4}{x},\qquad Q(x) = -\frac{2}{x^{3}}.
Explicação do que representam: P(x) é a função que multiplica y na forma padrão e Q(x) é o termo independente. O método do fator integrante usa P(x) para construir \mu(x).

Passo 3

Apresento a fórmula do fator integrante e por que ela funciona. O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Motivação curta e didática: ao multiplicar a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu P y = \mu Q,
e a escolha \mu'=\mu P faz com que o lado esquerdo seja exatamente \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big) (produto \mu y diferenciado), o que facilita integrar ambos os lados.

Passo 4

Calculo o fator integrante usando P(x)=-\dfrac{4}{x}:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\frac{4}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(-4\ln|x|\big).
Usando propriedades de logaritmo e exponencial:
\exp\!\big(-4\ln|x|\big)=|x|^{-4}.
Como a equação original está definida para x\neq 0, podemos trabalhar em cada ramo x>0 ou x<0. Para simplificar a notação escolho \mu(x)=x^{-4} entendendo que a solução vale para x\neq 0 (qualquer sinal de x pode ser absorvido na constante de integração quando necessário).

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(x)=x^{-4}. Fazendo isso obtenho:
x^{-4}y' - \frac{4}{x} x^{-4} y = -\frac{2}{x^{3}} x^{-4}.
Simplificando os fatores de potências:
x^{-4}y' - 4 x^{-5} y = -2 x^{-7}.
Agora verifico que o lado esquerdo é de fato a derivada do produto \mu y. Pelo produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big) = x^{-4}y' + \big(x^{-4}\big)' y = x^{-4}y' + (-4)x^{-5}y,
que é exatamente x^{-4}y' - 4 x^{-5} y. Logo a equação multiplicada fica
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big) = -2 x^{-7}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big)\,dx = \int -2 x^{-7}\,dx.
O lado esquerdo integra para x^{-4}y. No lado direito calculo a primitiva cuidadosamente: para x^{n} com n\neq -1, \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-7, então
\int -2 x^{-7}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-6}}{-6} = \frac{1}{3}\,x^{-6}.
Não esqueça da constante de integração; portanto
x^{-4}y = \frac{1}{3}\,x^{-6} + C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 7

Isolo y dividindo por x^{-4} (ou multiplicando por x^{4}):
y = x^{4}\left(\frac{1}{3}\,x^{-6} + C\right).
Distribuindo os fatores de potência:
y = \frac{1}{3}\,x^{-2} + C x^{4}.
Comentário: essa é a solução geral da EDO no domínio x\neq 0. Podemos também escrever C como C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom na prova): calculo y' a partir de y=\dfrac{1}{3}x^{-2}+Cx^{4}:
y' = \frac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} + C\cdot 4 x^{3} = -\frac{2}{3}x^{-3} + 4C x^{3}.
Substituindo em y' - \dfrac{4}{x}y:
y' - \frac{4}{x}y = \Big(-\frac{2}{3}x^{-3} + 4C x^{3}\Big) - \frac{4}{x}\Big(\frac{1}{3}x^{-2} + C x^{4}\Big).
Calculando cada termo:
-\frac{4}{x}\cdot\frac{1}{3}x^{-2} = -\frac{4}{3}x^{-3},\qquad -\frac{4}{x}\cdot C x^{4} = -4C x^{3}.
Somando,
y' - \frac{4}{x}y = -\frac{2}{3}x^{-3} + 4C x^{3} -\frac{4}{3}x^{-3} -4C x^{3} = -2 x^{-3}.
Isso coincide com o lado direito -\dfrac{2}{x^{3}}, confirmando a solução.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2}+C x^{4},\qquad x\neq 0

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