(Unicidade de Soluções) Mostre, a partir da Segunda Identidade de Green, que se dois potenciais
e
satisfazem
e coincidem numa superfície
, então
em todo o volume. Interprete o significado físico desse resultado.
Observação: Esta avaliação tem caráter investigativo e a pesquisa/procura pelas soluções dos problemas aqui sugeridos é recomendada. Justifique todas as respostas sempre que possível. O raciocínio físico e a clareza na argumentação serão considerados em sua solução. Aprenda Enquanto Avança - Boa Sorte!
Passo 1
O enunciado dá duas funções (potenciais)
e
definidas num volume
com superfície limite
e fornece as seguintes informações:
- Para
vale em todo o volume (ou seja, cada é harmônica em ). - As duas funções coincidem na superfície
; isto é, para todo ponto da superfície temos .
O que se pede: - Mostrar, a partir da Segunda Identidade de Green, que
em todo o volume . - Interpretar fisicamente o resultado (o que significa esse teorema na física).
Passo 2
Escrevo a Segunda Identidade de Green e explico cada termo. A Segunda Identidade de Green para duas funções suficientemente suaves
e
num volume
com fronteira
é
Explicando as notações:
-
é o Laplaciano de , isto é, a soma das derivadas segundas parciais de . -
é a derivada normal externa de na superfície : , onde é o vetor normal unitário apontando para fora do volume. -
é a integral de volume e é a integral sobre a superfície .
A identidade é uma versão integrada da regra de integração por partes em múltiplas dimensões e será a ferramenta matemática de partida.
Passo 3
Defino a diferença entre os potenciais:
Das hipóteses segue imediatamente:
-
ou seja, também é harmônica em . - Na superfície
temos , pois e coincidem ali.
Portanto, o problema reduz-se a mostrar que seé harmônica em e em , então em todo .
Passo 4
Vou usar uma forma útil da identidade de Green ligada ao produto de uma função por outra. Começo com a identidade (muito usada, que decorre do teorema da divergência):
que é a chamada Primeira Identidade de Green. Aqui
é o produto escalar dos gradientes. Em palavras: a integral de
vezes a derivada normal de
sobre a superfície iguala a integral no volume de
somada à integral do produto dos gradientes. Essa identidade pode ser obtida aplicando o teorema da divergência à campo vetorial
, pois
. (A Segunda Identidade de Green é obtida subtraindo a versão com
trocados.)
Nota pedagógica: expliquei a Primeira Identidade porque ela torna evidente a relação entre integrais de fronteira e termos com
, que é o que precisamos para uma prova por energia.
Passo 5
Aplico a Primeira Identidade de Green com
e
. Assim,
Mas
nas hipóteses, e
. Logo
Agora utilizo que
na superfície
. Portanto o integrando da integral de superfície é
ponto a ponto em
, e a integral de superfície é zero:
Combinando as duas equalidades obtemos
Passo 6
A integral de uma função não-negativa é zero somente se a função for zero quase em todo lugar. Como
e sua integral no volume é zero, segue que
em todo o volume
. Isso implica
em
, ou seja,
é constante em
. Mas sabemos que
na superfície
; pela continuidade de
a constante deve ser zero. Portanto
em
, isto é,
ou seja
Isso conclui a demonstração da unicidade.
Passo 7
Interpretação física (gentil e direta):
- Em eletrostática, em regiões sem carga o potencial elétrico satisfaz a equação de Laplace
. A demonstração acima diz que, se eu fixo o valor do potencial na superfície que envolve uma região (condição de contorno do tipo Dirichlet), então existe no máximo uma solução harmônica que assume esses valores na superfície — não podem haver dois potenciais diferentes que sejam harmônicos dentro e iguais na fronteira. Em outras palavras: especificar o potencial na fronteira determina unicamente o potencial dentro. - Uma forma física de entender a passagem pela integral de
é pensar em energia: está ligado ao campo elétrico , e (até constantes físicas) corresponde à energia eletrostática associada à diferença de campos entre e . Se essa energia é zero, os campos coincidem e, com a condição de contorno, os potenciais coincidem. Logo, não existem dois campos elétricos distintos com a mesma distribuição de potencial na fronteira e sem cargas internas. - Consequência prática: problemas de Dirichlet para a equação de Laplace têm solução única; isso justifica o uso de métodos como separação de variáveis, séries de Fourier ou métodos numéricos — qualquer solução encontrada que satisfaça a equação e as condições de contorno é a solução correta.