(Potencial Harmônico) Mostre que o potencial
satisfaz
para
. Comente a importância dessa propriedade na formulação das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que o potencial
satisfaz
para
; (ii) comentar a importância dessa propriedade na formulação das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática.
Informações dadas e claras: é a função escalar definida por
com
. Está implícito que trabalhamos no espaço tridimensional e que queremos a igualdade
em todos os pontos exceto a origem (
).
Informações dadas e claras:
Passo 2
Definição do operador Laplaciano e estratégia de cálculo (passo-a-passo bem didático).
O Laplaciano em coordenadas cartesianas é a soma das segundas derivadas parciais:
O Laplaciano em coordenadas cartesianas é a soma das segundas derivadas parciais:
Para uma função radial
que depende só de
, podemos usar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais em
. Vou derivar a fórmula geral para
(útil em prova): primeiro a derivada primeira em
é
onde
. Agora precisamos da segunda derivada:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia com cuidado:
Análogamente para
e
. Somando as três segundas derivadas (observe que
) obtemos
Portanto, para qualquer função radial
,
(Essa é uma fórmula padrão: às vezes escrita como
.)]
Passo 3
Aplique a fórmula ao caso
. Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem em
:
Mostrei passo a passo: a derivada de
é
e a segunda é
.
Passo 4
Substitua
e
na fórmula do Laplaciano para função radial:
Agora simplifique termo a termo:
Logo, para todo ponto com
temos
, o que completa a demonstração pedida.
Passo 5
Observação sobre a origem (
) e interpretação em distribuições (útil em eletrostática).
A igualdade vale somente para
porque
é singular na origem; as derivadas clássicas não existem em
. Entretanto, na teoria de distribuições (ou usando o teorema da divergência para uma bola centrada na origem) mostra-se o resultado de grande importância física:
A igualdade
onde
é a delta de Dirac em três dimensões. Uma forma simples de ver a constante
é integrar o Laplaciano sobre uma bola
e usar o teorema da divergência:
Como isso independe de
, a massa está concentrada na origem e corresponde a
. Em eletrostática essa constante e o sinal se ajustam quando escolhemos a constante multiplicativa da função fundamental (por exemplo, o potencial do ponto carga unitária pode ser escrito como
ou com fator
dependendo das convenções).
Passo 6
Comentário sobre a importância dessa propriedade na formulação das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática (explicação didática e aplicada).
- Em eletrostática a equação de Poisson liga densidade de carga
ao potencial :
Se não há carga em uma região (ou seja,
), a equação reduz-se à equação de Laplace
; funções que satisfazem
são chamadas harmônicas. A propriedade de
ser harmônica fora da origem significa que o potencial de uma carga puntiforme é solução da equação de Laplace em toda região sem a carga. Isso permite tratar problemas por superposição: o potencial de várias cargas pontuais é soma de termos
e é harmônico em pontos sem carga.
- A função
(mais precisamente em muitas convenções) é a solução fundamental do operador Laplaciano em 3D: ela atua como o “Green’s function” do problema. Com ela construímos soluções da equação de Poisson para densidades arbitrárias via integral de convolução (superposição contínua). Em linguagem prática: conhecendo o comportamento de conseguimos escrever o potencial gerado por qualquer distribuição de cargas e resolver problemas de contorno usando representações integrais. - Além disso, a propriedade de ser harmônica fora da origem é central para teoremas de unicidade: em uma região sem cargas, a solução do problema de Dirichlet (potencial especificado na fronteira) é única. Isso é crucial em provas de que a solução física é bem determinada pelas condições de contorno e pelas cargas.
Em suma: o fato deser solução de fora da origem é a pedra angular que permite construir potenciais de cargas pontuais, usar superposição, definir a função de Green para o Laplaciano e garantir unicidade das soluções em problemas eletrostáticos.