(Potencial Harmônico) Mostre que o potencial V=\frac{1}{r} satisfaz \nabla^{2} V=0 para r \neq 0. Comente a importância dessa propriedade na formulação das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que o potencial V=\dfrac{1}{r} satisfaz \nabla^2 V=0 para r\neq 0; (ii) comentar a importância dessa propriedade na formulação das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática.
Informações dadas e claras: V é a função escalar definida por V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{r} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Está implícito que trabalhamos no espaço tridimensional e que queremos a igualdade \nabla^2 V=0 em todos os pontos exceto a origem ( r\neq0).

Passo 2

Definição do operador Laplaciano e estratégia de cálculo (passo-a-passo bem didático).
O Laplaciano em coordenadas cartesianas é a soma das segundas derivadas parciais:
\nabla^2 V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Para uma função radial V(\mathbf{r})=f(r) que depende só de r, podemos usar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais em x,y,z. Vou derivar a fórmula geral para \nabla^2 f(r) (útil em prova): primeiro a derivada primeira em x é
\frac{\partial f}{\partial x}=f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial x}=f'(r)\,\frac{x}{r},
onde f'(r)=\dfrac{df}{dr}. Agora precisamos da segunda derivada:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(f'(r)\frac{x}{r}\right).
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia com cuidado:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=f''(r)\frac{x^{2}}{r^{2}}+f'(r)\left(\frac{1}{r}-\frac{x^{2}}{r^{3}}\right).
Análogamente para y e z. Somando as três segundas derivadas (observe que x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}) obtemos
\begin{aligned} \nabla^{2}f(r) &=f''(r)\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}}+f'(r)\left(\frac{3}{r}-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{3}}\right)\\[4pt] &=f''(r)+f'(r)\left(\frac{3}{r}-\frac{r^{2}}{r^{3}}\right)\\[4pt] &=f''(r)+\frac{2}{r}f'(r). \end{aligned}
Portanto, para qualquer função radial f(r),
\boxed{\displaystyle \nabla^{2}f(r)=f''(r)+\frac{2}{r}f'(r).}
(Essa é uma fórmula padrão: às vezes escrita como \nabla^{2}f(r)=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\big(r^{2}f'(r)\big).)]

Passo 3

Aplique a fórmula ao caso f(r)=\dfrac{1}{r}. Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem em r:
f(r)=\frac{1}{r},\qquad f'(r)=-\frac{1}{r^{2}},\qquad f''(r)=\frac{2}{r^{3}}.
Mostrei passo a passo: a derivada de r^{-1} é -1\cdot r^{-2} e a segunda é -1)\cdot(-2)\cdot r^{-3}=2r^{-3}.

Passo 4

Substitua f'(r) e f''(r) na fórmula do Laplaciano para função radial:
\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right)=f''(r)+\frac{2}{r}f'(r)=\frac{2}{r^{3}}+\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r^{2}}\right).
Agora simplifique termo a termo:
\frac{2}{r^{3}}+\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r^{2}}\right)=\frac{2}{r^{3}}-\frac{2}{r^{3}}=0.
Logo, para todo ponto com r\neq 0 temos \nabla^{2}\!\big(\dfrac{1}{r}\big)=0, o que completa a demonstração pedida.

Passo 5

Observação sobre a origem ( r=0) e interpretação em distribuições (útil em eletrostática).
A igualdade \nabla^{2}(1/r)=0 vale somente para r\neq0 porque 1/r é singular na origem; as derivadas clássicas não existem em r=0. Entretanto, na teoria de distribuições (ou usando o teorema da divergência para uma bola centrada na origem) mostra-se o resultado de grande importância física:
\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\,\delta(\mathbf{r})
onde \delta(\mathbf{r}) é a delta de Dirac em três dimensões. Uma forma simples de ver a constante -4\pi é integrar o Laplaciano sobre uma bola B_{R} e usar o teorema da divergência:
\int_{B_{R}}\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right)\,dV=\oint_{S_{R}}\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)\cdot d\mathbf{S} =\oint_{S_{R}}\left(-\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\right)\cdot\hat{\mathbf{r}}\,r^{2}d\Omega=-\int_{S_{R}}d\Omega=-4\pi.
Como isso independe de R, a massa está concentrada na origem e corresponde a -4\pi\delta(\mathbf{r}). Em eletrostática essa constante e o sinal se ajustam quando escolhemos a constante multiplicativa da função fundamental (por exemplo, o potencial do ponto carga unitária pode ser escrito como V(\mathbf{r})=1/r ou com fator (1/4\pi\varepsilon_{0}) dependendo das convenções).

Passo 6

Comentário sobre a importância dessa propriedade na formulação das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática (explicação didática e aplicada).
  • Em eletrostática a equação de Poisson liga densidade de carga \rho(\mathbf{r}) ao potencial V:
\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Se não há carga em uma região (ou seja, \rho=0), a equação reduz-se à equação de Laplace \nabla^{2}V=0; funções que satisfazem \nabla^{2}V=0 são chamadas harmônicas. A propriedade de 1/r ser harmônica fora da origem significa que o potencial de uma carga puntiforme é solução da equação de Laplace em toda região sem a carga. Isso permite tratar problemas por superposição: o potencial de várias cargas pontuais é soma de termos 1/r e é harmônico em pontos sem carga.
  • A função 1/r (mais precisamente -1/(4\pi r) em muitas convenções) é a solução fundamental do operador Laplaciano em 3D: ela atua como o “Green’s function” do problema. Com ela construímos soluções da equação de Poisson para densidades arbitrárias via integral de convolução (superposição contínua). Em linguagem prática: conhecendo o comportamento de 1/r conseguimos escrever o potencial gerado por qualquer distribuição de cargas e resolver problemas de contorno usando representações integrais.
  • Além disso, a propriedade de ser harmônica fora da origem é central para teoremas de unicidade: em uma região sem cargas, a solução do problema de Dirichlet (potencial especificado na fronteira) é única. Isso é crucial em provas de que a solução física é bem determinada pelas condições de contorno e pelas cargas.
    Em suma: o fato de 1/r ser solução de \nabla^{2}V=0 fora da origem é a pedra angular que permite construir potenciais de cargas pontuais, usar superposição, definir a função de Green para o Laplaciano e garantir unicidade das soluções em problemas eletrostáticos.

Resposta

\nabla^{2}\!\left(\dfrac{1}{r}\right)=0 para r\neq 0.\nA importância: 1/r é a solução fundamental do Laplaciano em 3D; é harmônica fora da origem, permite construir potenciais por superposição (Green’s function) e fundamenta a formulação e unicidade das soluções de Laplace e Poisson em eletrostática (na origem aparece uma singularidade que, em sentido de distribuições, produz \nabla^{2}(1/r)=-4\pi\delta(\mathbf{r})).

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