[2.] Considere a EDO não linear,
\left(x y^{2}+x^{2} y\right) d x+\left(x^{2} y-x y^{2}\right) d y-0
Encontre as curvas integrais.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma de forma diferencial:
\left(x y^{2}+x^{2} y\right)\,dx+\left(x^{2} y-x y^{2}\right)\,dy=0.
O que é pedido: encontrar as curvas integrais, ou seja, a família de curvas y(x) (implícita ou explicitamente) que satisfazem essa relação.
Informações explícitas que o enunciado fornece e que vamos usar:
  • Coeficiente de dx: M(x,y)=x y^{2}+x^{2} y.
  • Coeficiente de dy: N(x,y)=x^{2} y-x y^{2}.
  • Observação numérica/algebraica óbvia: M e N contêm fatores em x e y que possivelmente permitem simplificação.

Passo 2

Primeiro teste rápido (pode ajudar a escolher método): verificar se a equação é exata. Para uma equação M\,dx+N\,dy=0 ser exata precisa valer \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}+x^{2} y\big)=2xy+x^{2},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y-x y^{2}\big)=2xy-y^{2}.
Como \,2xy+x^{2}\neq 2xy-y^{2} em geral, a equação NÃO é exata. Portanto vou tentar outro método.
Repare que todos os termos em M e N têm grau homogêneo 3 (cada monômio é de grau x^a y^b com a+b=3). Isso sugere tratar a equação como homogênea e usar a substituição padrão y=vx (ou v=y/x), porque em equações homogêneas a razão v=y/x transforma a EDO em uma de variáveis separáveis em v e x. Vou usar isso a seguir. (Explicação rápida: se M e N são homogêneos do mesmo grau, a razão -M/N depende só de v=y/x.)

Passo 3

Passar para a forma de derivada: da forma diferencial
M\,dx+N\,dy=0
temos
\frac{dy}{dx}=-\frac{M}{N}=-\frac{x y^{2}+x^{2} y}{x^{2} y-x y^{2}}.
Fatorando x y em numerador e denominador (com cuidado: isso só é permitido quando x y\neq 0; trataremos os casos x=0 ou y=0 separadamente):
\frac{dy}{dx}=-\frac{x y(y+x)}{x y(x-y)}=-\frac{x+y}{x-y}.
Agora faça a substituição y=vx, portanto v=\dfrac{y}{x} e
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x+v x}{x-v x}=-\frac{1+v}{1-v}.

Passo 4

Isolar x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v}{1-v}-v.
Colocar o lado direito sobre o mesmo denominador 1-v:
x\frac{dv}{dx}=\frac{-(1+v)-v(1-v)}{1-v}=\frac{v^{2}-2v-1}{1-v}.
Assim
\frac{1-v}{v^{2}-2v-1}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Primeiro note que o denominador quadrático pode ser escrito como
v^{2}-2v-1=(v-(1+\sqrt{2}))(v-(1-\sqrt{2})),
isto é, tem raízes v=1\pm\sqrt{2}. Para integrar o lado esquerdo faremos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes C e D tais que
\frac{1-v}{v^{2}-2v-1}=\frac{C}{v-(1+\sqrt{2})}+\frac{D}{v-(1-\sqrt{2})}.
Resolvíamos o sistema e obtemos (detalhe algébrico):
C+D=-1,\qquad C(1-\sqrt{2})+D(1+\sqrt{2})=-1.
A solução é C=D=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1-v}{v^{2}-2v-1}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{v-(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{v-(1-\sqrt{2})}\right).
Integrando:
\int\frac{1-v}{v^{2}-2v-1}\,dv=-\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{v-(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{v-(1-\sqrt{2})}\right)dv.
As integrais logarítmicas dão
-\frac{1}{2}\ln\big|v-(1+\sqrt{2})\big|-\frac{1}{2}\ln\big|v-(1-\sqrt{2})\big|+\text{const}.
Juntando os logaritmos:
-\frac{1}{2}\ln\big|(v-(1+\sqrt{2}))(v-(1-\sqrt{2}))\big|=-\frac{1}{2}\ln\big|v^{2}-2v-1\big|.
Do outro lado:
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+\text{const}.
Assim obtemos (com uma constante geral C):
-\frac{1}{2}\ln\big|v^{2}-2v-1\big|=\ln|x|+C.
Multiplicando por -2 e exponenciando:
\ln\big|v^{2}-2v-1\big|=-2\ln|x|+C'\quad\Longrightarrow\quad |x^{2}(v^{2}-2v-1)|=K,
onde K=e^{C'} é constante arbitrária positiva (podemos permitir K real não nulo, absorvendo sinal). Voltando a v=y/x, calcula-se
x^{2}\bigg(\big(\frac{y}{x}\big)^{2}-2\frac{y}{x}-1\bigg)=y^{2}-2xy-x^{2}=K.

Passo 5

Portanto a família geral de curvas integrais (implícita) é
y^{2}-2xy-x^{2}=C,
onde C é constante arbitrária real.
Agora tratar os casos que foram excluídos ao dividir por xy e ao dividir pelo denominador na separação:
  • Se x=0 ou y=0 temos M= x y(y+x)=0 e N=x y(x-y)=0 simultaneamente, então a forma diferencial é nula sobre as linhas x=0 e y=0. Essas linhas são soluções singulares do problema (a equação é satisfeita identicamente sobre elas). Logo as retas x=0 e y=0 também são curvas integrais (são soluções singulares que não aparecem como uma única escolha de C na família geral).
  • As retas y=(1\pm\sqrt{2})x correspondem ao caso C=0 da família geral, pois se y/x é uma das raízes da quadrática v^{2}-2v-1=0 então y^{2}-2xy-x^{2}=0. Assim essas duas retas fazem parte da família geral.

Resposta

y^{2}-2xy-x^{2}=C, com C\in\mathbb{R}.
As retas singulares x=0 e y=0 também são curvas integrais (casos singulares).

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