\frac{d}{d t} e^{-P(t)}=-p(t) e^{-P(t)} ?
Passo 1
O enunciado pergunta se a igualdade
é verdadeira. As informações explícitas são só as duas funções
e
.
Para poder responder precisamos ter claro se existe alguma relação entre e
(por exemplo, se
é a derivada de
) e se
é diferenciável. Não foi dito no enunciado, por isso vamos explicitar as condições necessárias antes de concluir.
Para poder responder precisamos ter claro se existe alguma relação entre
Passo 2
Vou recordar a regra que vamos usar: a regra da cadeia para derivadas. Ela diz o seguinte: se
é diferenciável em um ponto e
é diferenciável nesse ponto, então a composição
é diferenciável e
No nosso caso, a função exterior será
, cuja derivada é
. A função interior será
. Portanto podemos aplicar a regra da cadeia desde que
seja diferenciável.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
Agora calculamos
. Derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada, então
Substituindo,
Passo 4
Compare com a expressão do enunciado. A igualdade
é verdadeira exatamente quando
Ou seja, se
for definida como a derivada de
e
for diferenciável, então a igualdade vale. Se não houver essa relação entre
e
, a igualdade não precisa ser verdadeira.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
- Exemplo que funciona:
. Então . Assim
logo a igualdade vale com
.
- Exemplo que não funciona:
e suponha . Então
portanto a igualdade falha se
não for
.
Passo 6
Dica de prova/avaliação rápida na prova: quando vir algo do tipo
, pense imediatamente na regra da cadeia. Calcule a derivada do “algo” (a função no expoente) e multiplique por
. Verifique sempre se o enunciado define a relação entre as funções (aqui, se
).
Resposta
Sim — desde que
seja diferenciável e
; nesse caso