\frac{d}{d t} e^{-P(t)}=-p(t) e^{-P(t)} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a igualdade
\frac{d}{dt} e^{-P(t)} = -p(t)\,e^{-P(t)}
é verdadeira. As informações explícitas são só as duas funções P(t) e p(t).
Para poder responder precisamos ter claro se existe alguma relação entre P e p (por exemplo, se p(t) é a derivada de P(t)) e se P é diferenciável. Não foi dito no enunciado, por isso vamos explicitar as condições necessárias antes de concluir.

Passo 2

Vou recordar a regra que vamos usar: a regra da cadeia para derivadas. Ela diz o seguinte: se f é diferenciável em um ponto e g é diferenciável nesse ponto, então a composição f(g(t)) é diferenciável e
\frac{d}{dt} f(g(t)) = f'(g(t))\cdot g'(t).
No nosso caso, a função exterior será f(x)=e^{x}, cuja derivada é f'(x)=e^{x}. A função interior será g(t)=-P(t). Portanto podemos aplicar a regra da cadeia desde que P seja diferenciável.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia com f(x)=e^{x} e g(t)=-P(t):
\frac{d}{dt} e^{-P(t)} = e^{g(t)}\cdot g'(t) = e^{-P(t)}\cdot \frac{d}{dt}\big(-P(t)\big).
Agora calculamos \dfrac{d}{dt}\big(-P(t)\big). Derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada, então
\frac{d}{dt}\big(-P(t)\big) = -P'(t).
Substituindo,
\frac{d}{dt} e^{-P(t)} = -P'(t)\,e^{-P(t)}.

Passo 4

Compare com a expressão do enunciado. A igualdade
\frac{d}{dt} e^{-P(t)} = -p(t)\,e^{-P(t)}
é verdadeira exatamente quando
p(t) = P'(t).
Ou seja, se p(t) for definida como a derivada de P(t) e P for diferenciável, então a igualdade vale. Se não houver essa relação entre p e P, a igualdade não precisa ser verdadeira.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • Exemplo que funciona: P(t)=t^2. Então P'(t)=2t. Assim
\frac{d}{dt} e^{-t^2} = -2t\,e^{-t^2},
logo a igualdade vale com p(t)=2t.
  • Exemplo que não funciona: P(t)=t^2 e suponha p(t)=t. Então
\frac{d}{dt} e^{-t^2} = -2t\,e^{-t^2}\neq -t\,e^{-t^2},
portanto a igualdade falha se p não for P'.

Passo 6

Dica de prova/avaliação rápida na prova: quando vir algo do tipo \dfrac{d}{dt}e^{\text{algo}}, pense imediatamente na regra da cadeia. Calcule a derivada do “algo” (a função no expoente) e multiplique por e^{\text{algo}}. Verifique sempre se o enunciado define a relação entre as funções (aqui, se p=P').

Resposta

Sim — desde que P seja diferenciável e p(t)=P'(t); nesse caso
\frac{d}{dt} e^{-P(t)} = -p(t)\,e^{-P(t)}.

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