(f)
[5.] Resolver a EDO com coeficientes quase homogêneos,
[5.] Resolver a EDO com coeficientes quase homogêneos,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para as duas equações que você enviou.
-
Primeiro problema (marcado como (f)):
- A equação diferencial dada é
. - O pedido é: resolver essa EDO (achar a solução geral implícita ou explícita).
- A equação diferencial dada é
-
Segundo problema (marcado como [5.]):
- A equação diferencial dada é
. - O pedido é: resolver essa EDO com “coeficientes quase homogêneos” (ou seja, encontrar a solução geral).
- A equação diferencial dada é
Anotações de dados relevantes que vieram do enunciado:
- Em ambas as equações temos uma forma diferencial
com e polinomiais (o que sugere, para a primeira, testar exatidão; para a segunda, fazer uma translação para retirar termos constantes e então usar homogeneidade). - Não há condições iniciais; esperamos obter soluções gerais em forma implícita.
Passo 2
Resolveremos primeiro a EDO (f). Vou explicar passo a passo como identificar que ela é exata e como obter a função potencial.
- Defino
(o coeficiente de ) e (o coeficiente de ). - Regra para testar exatidão (explicação didática): uma forma
é exata em um domínio quando existe uma função tal que e . Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios simples) é verificar se . Vou calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (detalhando as contas):
Como
, a forma é exata.
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
e
.
-
Integro
em relação a , tratando como constante: ondeé uma “constante de integração” que pode depender de . -
Agora imposto
. Calculo a partir da expressão encontrada: -
Igualo
a : Daí.
Passo 5
Integrar
:
Substituo
em
e escrevo a solução implícita geral:
onde
é constante arbitrary (absorvendo
). Podemos, se quisermos, multiplicar por
e escrever de forma equivalente
Isso finaliza a solução do primeiro problema.
Passo 6
Agora vamos para o segundo problema:
.
Primeiro passo técnico-didático: verificar se a forma é exata. Se não for, identificar uma estratégia. O enunciado mencionou “coeficientes quase homogêneos”, o que indica que é conveniente fazer uma translação (mudar a origem) para eliminar os termos constantes e então explorar homogeneidade dos coeficientes lineares.
- Defino
e . - Calculo
e . Como , a forma NÃO é exata.
Passo 7
Estratégia para “coeficientes quase homogêneos” (explicando o raciocínio):
- Observação:
e são funções lineares em e com termos constantes. Se for possível encontrar constantes tais que ao fazermos a mudança de variáveis as constantes desapareçam (ou seja, as novas passem a ter apenas termos proporcionais a e ), então a forma resultante será homogênea de grau . Para formas homogêneas a técnica padrão é usar (redução para variável separável). - Vou escolher
para zerar os termos constantes.
Passo 8
Determinar [x_0,y_0) resolvendo o sistema que anula as constantes.
Escrevo
,
. Substituo em
e
:
Quero as constantes entre parênteses iguais a zero, logo resolvo
Subtraindo a segunda equação da primeira obtenho
. Substituindo em
dá
, então
.
Portanto a translação correta é
Passo 9
Reescrever a equação nas novas variáveis. Observação:
e
porque
são constantes.
Substituindo os deslocamentos, as partes constantes desaparecem e obtemos a forma homogênea de grau
:
Agora
e
são homogêneas de grau
, ou seja, ao trocar
por
multiplicam por
.
Passo 10
Resolver a forma homogênea usando a substituição
(explicando por que funciona):
- Para uma forma onde
e são homogêneas do mesmo grau, pôr transforma a equação numa equação para e onde frequentemente conseguimos separar variáveis. Aqui tomar implica .
Faço a substituição:
Com
e
temos:
Passo 11
Simplificar a expressão, passo a passo:
- Factorizo
em todas as parcelas (assumo — a solução corresponde a uma reta que pode ser verificada separadamente):
- Dividindo por
(válido para ):
- Expando:
- Agrupo os termos com
:
- Calculo o coeficiente de
:
Assim a equação fica
Passo 12
Colocar em forma separável (isolar
e função de
em
):
Divido por
(novamente assumindo
, caso a parte especial será verificada depois):
Agora integro ambos os lados.
Passo 13
Integrar os dois termos (detalhando as integrais):
-
A integral do primeiro termo é simples:
-
Para a segunda integral, calculo
. Vou manipular o integrando para facilitar: - Note que a derivada de
em relação a é . Podemos tentar escrever o numerador como combinação de e uma constante: De fato, . - Assim
- Então
- A primeira parte integra para
. - A segunda parte é uma integral padrão do tipo
. Com temos desde que se trabalhe na região onde (caso contrário usa-se a forma com ou dependendo do sinal; a expressão com é a forma mais direta).
- Note que a derivada de
-
Portanto
Passo 14
Juntando as integrais da Passo 12 e incluindo a constante de integração:
onde
e
,
(lembrando da mudança de variáveis que fizemos).
Passo 15
Reescrever a solução em termos das variáveis originais
:
-
. -
.
Substituo na expressão obtida:
Essa é a forma implícita da solução geral para a segunda EDO. Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
- A solução está implícita; se for necessário, pode-se multiplicar por constantes ou combinar os logaritmos em um só termo logarítmico.
- Devemos ficar atentos a casos excepcionais:
(ou seja ) corresponde à reta . É fácil verificar diretamente na equação original se essa reta é solução singular: substituindo em não obtém-se uma solução de forma trivial; normalmente mantemos a solução geral implícita e, em prova, comentamos sobre retas excepcionais se pedirem soluções singulares. - Também é preciso atenção ao domínio do
: a expressão está bem definida onde ; fora disso usa-se a forma equivalente com ou para estender a solução.