[1.] As seguintes EDOs são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classifique-as em : linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H):

Passo 1

O enunciado pede: classificar as EDOs fornecidas em uma das categorias: linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H).
Informação que tenho: nenhum enunciado explícito das EDOs foi enviado. Portanto NÃO há como fazer a classificação das equações concretas porque as equações não foram fornecidas.

Passo 2

Antes de concluir que não dá para classificar sem as equações, vou te ensinar claramente o que cada uma dessas categorias significa e como identificar cada uma no olho — passo a passo, do jeito que você vai poder aplicar na prova.
Linear (ordem 1)
  • Uma EDO de primeira ordem é dita linear se pode ser escrita na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
  • O que isso quer dizer no bolso: o termo com y aparece com coeficiente que depende só de x e não aparece y^2, \sin y, y\cdot dy/dx etc. A equação é “linear em y”.
  • Regra prática para identificar: isole \dfrac{dy}{dx}. Se o lado direito é algo do tipo -P(x)y+Q(x) (ou equivalentemente se depois de dividir o coeficiente de \dfrac{dy}{dx} o termo em y é multiplicado por função só de x), então é linear.
  • Método de resolução (resumido, porque entender o teste já ajuda a identificar): calcular o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int P(x)\,dx\biggr),
multiplicar a equação por \mu(x) e integrar para obter a solução.
Exemplo rápido (identificação e passo para resolver)
  • Exemplo: \dfrac{dy}{dx}+2y=x. Aqui P(x)=2, Q(x)=x. Linear — porque o coeficiente de y é só função de x (neste caso constante). Fator integrante \mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}, etc.

Passo 3

A variáveis separáveis (VS)
  • Uma equação é separável se pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)
ou, equivalentemente,
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
ou seja, é possível separar todos os termos com y de um lado e os com x do outro.
  • Regra prática: tente manipular \dfrac{dy}{dx} para ver se dá para escrever como produto de uma função só de x por uma função só de y.
  • Método de resolução: integrar ambos os lados
\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx + C.
Exemplo passo a passo
  • Exemplo: \dfrac{dy}{dx}=x\,y^2. Aqui g(x)=x e h(y)=y^2, então é separável.
  • Separe: y^{-2}\,dy = x\,dx.
  • Integre: \int y^{-2}\,dy = \int x\,dx \Rightarrow -y^{-1} = \tfrac{x^2}{2} + C.
  • Isola y se precisar: y = -\dfrac{1}{\tfrac{x^2}{2}+C}.

Passo 4

Equações exatas (E)
  • Uma equação diferencial de primeira ordem escrita na forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = M e \partial \Phi/\partial y = N.
  • Teste prático de exatude (condição necessária e suficiente, quando M,N têm derivadas parciais contínuas):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso for verdade no domínio considerado, a equação é exata.
  • Método, quando exata: encontrar \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e ajustando com função de y, ou integrar N em relação a y e ajustar com função de x.
Exemplo passo a passo
  • Exemplo: (2xy + \cos y)\,dx + (x^2 - x\sin y)\,dy = 0.
  • Calcule \partial M/\partial y = 2x - \sin y.
  • Calcule \partial N/\partial x = 2x - \sin y.
  • Como são iguais, é exata.
  • Encontre \Phi: integrar M em x:
\Phi(x,y)=\int (2xy+\cos y)\,dx = x^2y + x\cos y + h(y).
  • Diferencie em relação a y e iguale a N para achar h'(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^2 - x\sin y + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y)=x^2 - x\sin y.
Logo h'(y)=0, então h(y)=C. A solução implícita é \Phi(x,y)=x^2y + x\cos y = C.
E se não for exata?
  • Ainda pode existir um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata. Há testes para descobrir se \mu depende só de x ou só de y:
    • Se \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right) é função só de x, então existe \mu(x).
    • Se \dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right) é função só de y, então existe \mu(y).

Passo 5

Coeficientes homogêneos (H)
  • Aqui estamos falando de equações onde a função que representa a inclinação é homogênea de grau zero, ou seja,
\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right),
o que acontece quando M(x,y) e N(x,y) (na forma M\,dx+N\,dy=0) são funções homogêneas do mesmo grau, ou quando a expressão que define \dfrac{dy}{dx} pode ser reescrita apenas em termos do quociente y/x.
  • Regra prática para identificar: verifique se ao substituir y=tx todas as potências de x se cancelam e a equação fica em termos de t apenas; ou observe se a razão y/x aparece como única combinação de x,y.
  • Método de resolução: faça a substituição y=ux (onde u=u(x) e u=y/x). Então
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx},
substitua na EDO e obtenha uma equação separável (geralmente) em u e x.
Exemplo passo a passo
  • Exemplo: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y}{x-y}.
  • Divida numerator e denominador por x: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1+y/x}{1-y/x}=F(y/x). Logo é homogênea.
  • Faça u=y/x, então dy/dx = u + x du/dx.
  • Substitua: u + x\frac{du}{dx} = \dfrac{1+u}{1-u}.
  • A partir daí isola du/dx e frequentemente obtém uma equação separável em u e x.

Passo 6

Fluxo de decisão rápido que você pode aplicar na prova (coloca no caderno, é prático)
  1. Escreva a EDO na forma \dfrac{dy}{dx}=\text{(algo)} ou em M\,dx+N\,dy=0.
  2. Veja se o lado direito é produto g(x)h(y). Se sim → VS (separável).
  3. Se não, tente reescrever na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). Se conseguir → linear.
  4. Se estiver na forma M\,dx+N\,dy=0, compute \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se iguais → E (exata).
  5. Se M e N forem homogêneos do mesmo grau ou se \dfrac{dy}{dx} puder ser escrito só como função de y/x → H (homogênea).
  6. Lembre-se: categorias podem sobrepor-se. Ex.: uma equação pode ser separável e linear ao mesmo tempo; escolha o método mais simples para resolver. Se tiver dúvida, checar cada teste rápido ajuda.

Passo 7

Resumo motivador e convite
  • Sem as equações concretas eu não posso dar as letras (L, VS, E, H) para cada item pedido — porque essa classificação depende da forma específica de cada EDO.
  • Agora que você tem os testes, quando me enviar as equações concretas eu faço a classificação item a item, aplicando exatamente os passos que eu te mostrei e resolvendo quando for útil. Vai dar certo — respira e manda as equações que eu faço o resto com calma e passo a passo.

Resposta

Não é possível classificar: as EDOs não foram fornecidas.

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