[1.] As seguintes EDOs são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classifique-as em : linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H):
Passo 1
O enunciado pede: classificar as EDOs fornecidas em uma das categorias: linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H).
Informação que tenho: nenhum enunciado explícito das EDOs foi enviado. Portanto NÃO há como fazer a classificação das equações concretas porque as equações não foram fornecidas.
Informação que tenho: nenhum enunciado explícito das EDOs foi enviado. Portanto NÃO há como fazer a classificação das equações concretas porque as equações não foram fornecidas.
Passo 2
Antes de concluir que não dá para classificar sem as equações, vou te ensinar claramente o que cada uma dessas categorias significa e como identificar cada uma no olho — passo a passo, do jeito que você vai poder aplicar na prova.
Linear (ordem 1)
- Uma EDO de primeira ordem é dita linear se pode ser escrita na forma padrão
- O que isso quer dizer no bolso: o termo com
aparece com coeficiente que depende só de e não aparece , , etc. A equação é “linear em ”. - Regra prática para identificar: isole
. Se o lado direito é algo do tipo (ou equivalentemente se depois de dividir o coeficiente de o termo em é multiplicado por função só de ), então é linear. - Método de resolução (resumido, porque entender o teste já ajuda a identificar): calcular o fator integrante
multiplicar a equação por
e integrar para obter a solução.
Exemplo rápido (identificação e passo para resolver)
- Exemplo:
. Aqui , . Linear — porque o coeficiente de é só função de (neste caso constante). Fator integrante , etc.
Passo 3
A variáveis separáveis (VS)
- Uma equação é separável se pode ser escrita na forma
ou, equivalentemente,
ou seja, é possível separar todos os termos com
de um lado e os com
do outro.
- Regra prática: tente manipular
para ver se dá para escrever como produto de uma função só de por uma função só de . - Método de resolução: integrar ambos os lados
Exemplo passo a passo
- Exemplo:
. Aqui e , então é separável. - Separe:
. - Integre:
. - Isola
se precisar: .
Passo 4
Equações exatas (E)
- Uma equação diferencial de primeira ordem escrita na forma diferencial
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
.
- Teste prático de exatude (condição necessária e suficiente, quando
têm derivadas parciais contínuas):
Se isso for verdade no domínio considerado, a equação é exata.
- Método, quando exata: encontrar
integrando em relação a (tratando como constante) e ajustando com função de , ou integrar em relação a e ajustar com função de .
Exemplo passo a passo
- Exemplo:
. - Calcule
. - Calcule
. - Como são iguais, é exata.
- Encontre
: integrar em :
- Diferencie em relação a
e iguale a para achar :
Logo
, então
. A solução implícita é
.
E se não for exata?
- Ainda pode existir um fator integrante
ou tal que seja exata. Há testes para descobrir se depende só de ou só de : - Se
é função só de , então existe . - Se
é função só de , então existe .
- Se
Passo 5
Coeficientes homogêneos (H)
- Aqui estamos falando de equações onde a função que representa a inclinação é homogênea de grau zero, ou seja,
o que acontece quando
e
(na forma
) são funções homogêneas do mesmo grau, ou quando a expressão que define
pode ser reescrita apenas em termos do quociente
.
- Regra prática para identificar: verifique se ao substituir
todas as potências de se cancelam e a equação fica em termos de apenas; ou observe se a razão aparece como única combinação de . - Método de resolução: faça a substituição
(onde e ). Então
substitua na EDO e obtenha uma equação separável (geralmente) em
e
.
Exemplo passo a passo
- Exemplo:
. - Divida numerator e denominador por
: . Logo é homogênea. - Faça
, então . - Substitua:
. - A partir daí isola
e frequentemente obtém uma equação separável em e .
Passo 6
Fluxo de decisão rápido que você pode aplicar na prova (coloca no caderno, é prático)
- Escreva a EDO na forma
ou em . - Veja se o lado direito é produto
. Se sim → VS (separável). - Se não, tente reescrever na forma
. Se conseguir → linear. - Se estiver na forma
, compute e . Se iguais → E (exata). - Se
e forem homogêneos do mesmo grau ou se puder ser escrito só como função de → H (homogênea). - Lembre-se: categorias podem sobrepor-se. Ex.: uma equação pode ser separável e linear ao mesmo tempo; escolha o método mais simples para resolver. Se tiver dúvida, checar cada teste rápido ajuda.
Passo 7
Resumo motivador e convite
- Sem as equações concretas eu não posso dar as letras (L, VS, E, H) para cada item pedido — porque essa classificação depende da forma específica de cada EDO.
- Agora que você tem os testes, quando me enviar as equações concretas eu faço a classificação item a item, aplicando exatamente os passos que eu te mostrei e resolvendo quando for útil. Vai dar certo — respira e manda as equações que eu faço o resto com calma e passo a passo.
Resposta
Não é possível classificar: as EDOs não foram fornecidas.