Para a(n)=n^{2}-2 e b(n)=n^{2}+2, determine:
d(n)=2 \cdot a(n)+3 \cdot b(n)

Passo 1

O enunciado fornece as duas expressões (funções de n) e pede para calcular uma combinação linear delas. Dados:
  • a(n)=n^{2}-2.
  • b(n)=n^{2}+2.
O que se pede:
  • Determinar d(n)=2\cdot a(n)+3\cdot b(n).

Passo 2

Estratégia e ideia matemática (bem mastigada): quando temos um número multiplicando uma soma, usamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Em linguagem matemática:
c\cdot (x+y)=c\cdot x + c\cdot y,
onde c,x,y são quaisquer expressões. Também vamos somar termos semelhantes (ou “termos do mesmo grau”), isto é, juntar os coeficientes de n^{2} entre si e juntar as constantes entre si.

Passo 3

Aplicando a distributiva para 2\cdot a(n):
2\cdot a(n)=2\cdot \bigl(n^{2}-2\bigr)=2n^{2}-4.
Explanação: multiplicou-se cada termo dentro dos parênteses por 2: 2\cdot n^{2}=2n^{2} e 2\cdot(-2)=-4.

Passo 4

Aplicando a distributiva para 3\cdot b(n):
3\cdot b(n)=3\cdot \bigl(n^{2}+2\bigr)=3n^{2}+6.
Explanação: multiplicou-se cada termo dentro dos parênteses por 3: 3\cdot n^{2}=3n^{2} e 3\cdot 2=6.

Passo 5

Somando os dois resultados termo a termo:
d(n)=2\cdot a(n)+3\cdot b(n)=(2n^{2}-4)+(3n^{2}+6).
Agrupando os termos semelhantes (os que têm n^{2} e as constantes):
d(n)=(2n^{2}+3n^{2})+(-4+6)=5n^{2}+2.
Explicação: 2n^{2}+3n^{2}=(2+3)n^{2}=5n^{2} e -4+6=2.

Passo 6

Cheque rápido (para dar confiança): escolha n=1. Então \,a(1)=1^{2}-2=-1, \,b(1)=1^{2}+2=3. Assim
d(1)=2\cdot(-1)+3\cdot 3=-2+9=7,
e substituindo na expressão final 5\cdot 1^{2}+2=5+2=7. Bate certinho!

Resposta

d(n)=5n^{2}+2

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