Para a(n)=n^{2}-2 e b(n)=n^{2}+2, determine:
e(n)=a(n) \cdot b(n)

Passo 1

O enunciado dá duas funções em termos de n:
a(n)=n^{2}-2,\qquad b(n)=n^{2}+2,
e pede que se determine
e(n)=a(n)\cdot b(n).
Aqui n é a variável (pode ser tratado como um número real ou inteiro dependendo do contexto da prova). O objetivo é multiplicar essas duas expressões algébricas e simplificar o resultado.

Passo 2

Vamos lembrar e usar uma identidade algébrica muito útil: a diferença de quadrados.
A identidade diz que, para quaisquer números x e y,
(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}.
Explicando: ao multiplicar (x-y)(x+y) os termos mistos se cancelam, sobrando a diferença dos quadrados. Essa identidade é rápida e evita expandir termo a termo quando a soma e a subtração aparecem com o mesmo termo central.

Passo 3

Aplicamos a identidade com x=n^{2} e y=2. Substituindo na forma da identidade obtemos
(n^{2}-2)(n^{2}+2)=(n^{2})^{2}-2^{2}.
Agora calculamos os quadrados:
(n^{2})^{2}=n^{4},\qquad 2^{2}=4,
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(n^{2}-2)(n^{2}+2)=n^{4}-4.

Passo 4

Para quem prefere ver o passo a passo por distribuição (o famoso FOIL: primeiro, externo, interno, último), faça assim:
(n^{2}-2)(n^{2}+2)=n^{2}\cdot n^{2}+n^{2}\cdot 2-2\cdot n^{2}-2\cdot 2.
Calculando cada termo:
n^{2}\cdot n^{2}=n^{4},\qquad n^{2}\cdot 2=2n^{2},\qquad -2\cdot n^{2}=-2n^{2},\qquad -2\cdot 2=-4.
Os termos 2n^{2} e -2n^{2} se cancelam, restando
n^{4}-4,
que é o mesmo resultado obtido pela identidade da diferença de quadrados.

Passo 5

Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança. Escolhendo n=3:
a(3)=3^{2}-2=9-2=7,\qquad b(3)=3^{2}+2=9+2=11,
a(3)\cdot b(3)=7\cdot 11=77.
Pela fórmula encontrada:
n^{4}-4=3^{4}-4=81-4=77,
confere.

Resposta

e(n)=n^{4}-4

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