Para a(n)=n^{2}-2 e b(n)=n^{2}+2, determine:
h(n)=b(n+2)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Funções dadas: a(n)=n^{2}-2 e b(n)=n^{2}+2.
  • Pede-se determinar h(n)=b(n+2), ou seja, avaliar a função b no argumento n+2.

Passo 2

Entender a operação "avaliar em n+2". Isso significa substituir cada ocorrência de n na expressão de b por n+2. Logo,
h(n)=b(n+2)=(n+2)^{2}+2.

Passo 3

Relembrando a fórmula para o quadrado de uma soma, que vamos usar para expandir (n+2)^{2}:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},
onde x e y representam quaisquer números ou expressões. Aqui usaremos x=n e y=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula com x=n e y=2:
(n+2)^{2}=n^{2}+2\cdot n\cdot 2+2^{2}=n^{2}+4n+4.

Passo 5

Voltar à expressão de h(n) e somar o +2 que já estava em b:
h(n)=(n+2)^{2}+2=(n^{2}+4n+4)+2=n^{2}+4n+6,
onde foi usada a simplificação 4+2=6.

Passo 6

Observação útil (opcional, serve para checar): comparar com a(n). Como a(n)=n^{2}-2, tem-se
a(n)+4n+8=(n^{2}-2)+4n+8=n^{2}+4n+6,
ou seja, h(n)=a(n)+4n+8. Isso confirma a forma obtida para h(n).

Resposta

h(n)=n^{2}+4n+6

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