[2. Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
integral1^e integralln x^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do cálculo de integrais múltiplas, onde a gente aprende a mudar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Vamos precisar entender os limites de integração atuais e então redesenhar a região para inverter esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração que a gente tem atualmente:
integral1^e integralln x^x f(x, y) , dy , dx
Aqui, varia de a , e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos imaginar ou desenhar no plano a região de integração. O eixo vai de a . Para cada , começa em e vai até . Assim, temos duas curvas: e . A região está entre essas duas curvas, para entre e .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, queremos primeiro integrar em e depois em . Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • varia desde o valor mínimo até o máximo da região. Olhando para e , vemos que o menor valor de ocorre quando , ou seja, . O maior valor de ocorre quando , então .
  • Para cada fixo, varia desde a curva at�� a linha . Resolvendo para , temos . E da linha , temos .
Então, para cada , varia de até .

Passo 5

Com esses novos limites, podemos reescrever a integral invertendo a ordem de integração:
integral0^e integraly^e^y f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^e integraly^e^y f(x, y) , dx , dy

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