[2. Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do cálculo de integrais múltiplas, onde a gente aprende a mudar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Vamos precisar entender os limites de integração atuais e então redesenhar a região para inverter esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração que a gente tem atualmente:
Aqui,
varia de
a
, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos imaginar ou desenhar no plano
a região de integração. O eixo
vai de
a
. Para cada
,
começa em
e vai até
. Assim, temos duas curvas:
e
. A região está entre essas duas curvas, para
entre
e
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, queremos primeiro integrar em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
varia desde o valor mínimo até o máximo da região. Olhando para e , vemos que o menor valor de ocorre quando , ou seja, . O maior valor de ocorre quando , então . - Para cada
fixo, varia desde a curva at�� a linha . Resolvendo para , temos . E da linha , temos .
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral invertendo a ordem de integração:
Resposta
A ordem de integração invertida é: