[3. p.240-244] Calcular , onde é o triângulo com os dois vértices dados e o outro na origem. e
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde . A região é um triângulo com vértices em , e . Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e configurar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos traçar os vértices , e no plano xy para visualizar a região triangular . Isso nos ajuda a determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
Passo 3
Vamos encontrar as equações das três retas que delimitam o triângulo:
Reta entre e :
A inclinação . Portanto, a equação é .
Reta entre e :
A inclinação . Assim, a equação é .
Reta entre e :
A inclinação . Usando o ponto , a equação fica , ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observando o triângulo, percebemos que varia de a . Para cada valor de , varia entre a reta inferior e a reta superior que depende de :
Para : a reta superior é .
Para : a reta superior é .
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes devido à mudança na reta superior:
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Integramos primeiro em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Agora, calculamos a segunda integral:
integral1^2 integral12x^-x + 3 xy , dy , dx
Integrando primeiro em relação a y:
integral12x^-x + 3 xy , dy = x [ 12 y^2 ]12x^-x + 3 = x ( 12 (-x + 3)^2 - 12 ( 12x )^2 )