[3. p.240-244] Calcular integral duplaD f(x, y) d A, onde D é o triângulo com os dois vértices dados e o outro na origem.
f(x, y)=x y e (1,2),(2,1)

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA, onde f(x, y) = xy. A região D é um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (2,1). Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e configurar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos traçar os vértices (0,0), (1,2) e (2,1) no plano xy para visualizar a região triangular D. Isso nos ajuda a determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das três retas que delimitam o triângulo:
  • Reta entre (0,0) e (1,2):
    A inclinação m = 2 - 01 - 0 = 2. Portanto, a equação é y = 2x.
  • Reta entre (0,0) e (2,1):
    A inclinação m = 1 - 02 - 0 = 12. Assim, a equação é y = 12x.
  • Reta entre (1,2) e (2,1):
    A inclinação m = 1 - 22 - 1 = -1. Usando o ponto (1,2), a equação fica y - 2 = -1(x - 1), ou seja, y = -x + 3.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o triângulo, percebemos que x varia de 0 a 2. Para cada valor de x, y varia entre a reta inferior y = 12x e a reta superior que depende de x:
  • Para 0 <= x <= 1: a reta superior é y = 2x.
  • Para 1 <= x <= 2: a reta superior é y = -x + 3.

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes devido à mudança na reta superior:
integral duplaD xy , dA = integral0^1 integral12x^2x xy , dy , dx + integral1^2 integral12x^-x + 3 xy , dy , dx

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 integral12x^2x xy , dy , dx
Integramos primeiro em relação a y:
integral12x^2x xy , dy = x [ 12 y^2 ]12x^2x = x ( 12 (2x)^2 - 12 ( 12x )^2 ) = x ( 2x^2 - 18x^2 ) = 158 x^3
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 158 x^3 , dx = 158 cdot 14 x^4 g|0^1 = 1532

Passo 7

Agora, calculamos a segunda integral:
integral1^2 integral12x^-x + 3 xy , dy , dx
Integrando primeiro em relação a y:
integral12x^-x + 3 xy , dy = x [ 12 y^2 ]12x^-x + 3 = x ( 12 (-x + 3)^2 - 12 ( 12x )^2 )
Expandindo e simplificando:
= x ( 12(x^2 - 6x + 9) - 18x^2 ) = 38x^3 - 3x^2 + 92x
Agora, integramos em relação a x:
integral1^2 ( 38x^3 - 3x^2 + 92x ) dx = 332x^4 - x^3 + 94x^2 g|1^2
Calculando os limites:
  • Para x=2:
= 332(16) - 8 + 94(4) = 4832 - 8 + 9 = 32 - 8 + 9 = 52
  • Para x=1:
= 332(1) - 1 + 94(1) = 332 - 1 + 94 = 4332
Subtraindo:
52 - 4332 = 138

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
1532 + 3732 = 5232 = 138

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaD xy , dA é 138.

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