Um fabricante estima que a produção anual de certa fábrica é dada por Q(K, L)=30 K^0,3 L^0,7 unidades, em que K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão de obra em homens-horas.
a) Determine a produtividade marginal do capital, QK, e a produtividade marginal da mão de obra, QL, para um capital imobilizado de R$ 630.000,00 e um volume de mão de obra de 830 homens-horas.

Passo 1

O enunciado diz que a produção anual é dada por Q(K,L)=30K^0,3L^0,7, que é uma função de produção do tipo Cobb–Douglas. Precisamos encontrar as produtividades marginais, isto é, as derivadas parciais QK=partial Q/partial K e QL=partial Q/partial L, e depois avaliar em K=630 (em milhares de reais) e L=830 (homens-horas).

Passo 2

Para calcular a produtividade marginal do capital, derivamos Q em relação a K. Aplicando a regra do expoente:
QK=30cdot0,3,K^0,3-1,L^0,7=9,K^-0,7,L^0,7
De forma análoga, para a mão de obra derivamos em relação a L:
QL=30cdot0,7,K^0,3,L^0,7-1=21,K^0,3,L^-0,3

Passo 3

Agora substituímos os valores dados: para QK temos
QK(630,830)=9,(630)^-0,7,(830)^0,7=9l(830630r)^0,7
Para simplificar, note que (630)^-0,7(830)^0,7=(830/630)^0,7.

Passo 4

Bastou então calcular numericamente:
(830/630)^0,7approx1,2138
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QKapprox9times1,2138approx10,93
E para QL fazemos cálculo similar:
QL(630,830)=21,(630)^0,3,(830)^-0,3=21l(630830r)^0,3approx21times0,9203approx19,33

Resposta

As produtividades marginais são aproximadamente
QKapprox10,93 (unidades por mil reais) e QLapprox19,33 (unidades por homem-hora).

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