Um fabricante estima que a produção anual de certa fábrica é dada por
unidades, em que
é o capital imobilizado em milhares de reais e
é o volume de mão de obra em homens-horas.
a) Determine a produtividade marginal do capital,
, e a produtividade marginal da mão de obra,
, para um capital imobilizado de R$ 630.000,00 e um volume de mão de obra de 830 homens-horas.
a) Determine a produtividade marginal do capital,
Passo 1
O enunciado diz que a produção anual é dada por
, que é uma função de produção do tipo Cobb–Douglas. Precisamos encontrar as produtividades marginais, isto é, as derivadas parciais
e
, e depois avaliar em
(em milhares de reais) e
(homens-horas).
Passo 2
Para calcular a produtividade marginal do capital, derivamos
em relação a
. Aplicando a regra do expoente:
De forma análoga, para a mão de obra derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora substituímos os valores dados: para
temos
Para simplificar, note que
.
Passo 4
Bastou então calcular numericamente:
logo
E para
fazemos cálculo similar:
Resposta
As produtividades marginais são aproximadamente
(unidades por mil reais) e
(unidades por homem-hora).