A produção anual de um país é dada por
Q(K, L)=150[0,4 K^-12+0,6 L^-12]^-2
Unidades, em que K é o capital imobilizado em milhões de dólares e L é o volume de mão de obra em milhares de homens-horas.
a) Determine a produtividade marginal do capital, QK, e a produtividade marginal da mão de obra, QL.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção anual de um país
Q(K,L)=150l[0,4,K^-tfrac12+0,6,L^-tfrac12r]^-2
Estamos no tópico de derivadas parciais de funções de duas variáveis, e vamos usar a regra da cadeia e a derivada de potência para obter as produtividades marginais QK e QL.

Passo 2

Primeiro, definimos a função intermediária
S(K,L)=0,4,K^-tfrac12+0,6,L^-tfrac12
e escrevemos
Q(K,L)=150,S^-2
Para achar QK=partial Q/partial K, aplicamos a regra da cadeia:
  1. derivada de 150,S^-2 em relação a S é 150cdot(-2)S^-3=-300S^-3;
  2. derivada de S em relação a K é
partial Spartial K=0,4cdotl(-tfrac12r)K^-tfrac32=-0,2,K^-tfrac32
Multiplicando, obtemos
QK=-300S^-3times(-0,2K^-tfrac32)=60,K^-tfrac32,S^-3

Passo 3

Agora vamos a QL=partial Q/partial L. Novamente, regra da cadeia:
  1. derivada de 150S^-2 em relação a S continua sendo -300S^-3);
  2. derivada de S em relação a L é
partial Spartial L=0,6cdotl(-tfrac12r)L^-tfrac32=-0,3,L^-tfrac32
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QL=-300S^-3times(-0,3L^-tfrac32)=90,L^-tfrac32,S^-3

Resposta

As produtividades marginais são
QK=60,K^-tfrac32l[0,4,K^-tfrac12+0,6,L^-tfrac12r]^-3,
QL=90,L^-tfrac32l[0,4,K^-tfrac12+0,6,L^-tfrac12r]^-3

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