[2. Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
integral-1^1 integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em relação a e depois em relação a , vamos fazer o contrário. Para isso, precisamos entender bem os limites de integração atuais e como eles definem a região que estamos integrando no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração com os limites dados:
-1 <= x <= 1 e x^2 <= y <= raiz2 - x^2
Aqui, varia de a , e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x^2 = raiz2 - x^2 em função de x^4 = 2 - x^2 . Mas primeiro, vamos entender onde as duas curvas x^4 + x^2 - 2 = 0 e se encontram. Igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja u^2 + u - 2 = 0 , então a equação fica:
u = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, ou . Como não pode ser negativo, temos , ou seja, , o que nos dá .

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se intersectam em e com . Vamos dividir a região de integração em duas partes:
  1. Para :
    • nos dá
    • varia de a
  2. Para :
    • nos dá
    • varia de a

Resposta

A ordem de integração invertida fica assim:
integral0^1 integral- raizy^, raizy ! f(x, y) , dx , dy ; + ; integral1^raiz2 integral- raiz2 - y^2^, raiz2 - y^2 ! f(x, y) , dx , dy

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