[2. Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, vamos fazer o contrário. Para isso, precisamos entender bem os limites de integração atuais e como eles definem a região que estamos integrando no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração com os limites dados:
Aqui,
varia de
a
, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Mas primeiro, vamos entender onde as duas curvas
e
se encontram. Igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto,
ou
. Como
não pode ser negativo, temos
, ou seja,
, o que nos dá
.
Passo 5
Agora sabemos que as curvas se intersectam em
e
com
. Vamos dividir a região de integração em duas partes:
-
Para
: -
nos dá -
varia de a
-
-
Para
: -
nos dá -
varia de a
-
Resposta
A ordem de integração invertida fica assim: