Considere a lei dos gases ideais, P V=n R T, em que P é a pressão exercida pelo gás, V é o volume do gás, n é o número de mols do gás, T é a temperatura do gás e R é uma constante conhecida como constante dos gases ideais.
b) Prove que T partial Ppartial T partial Vpartial T=n R

Passo 1

Temos a lei dos gases ideais PV = nRT. O objetivo é provar a identidade envolvendo derivadas parciais de P e V em relação a T. Vamos usar diferenciação implícita e derivadas parciais mantendo uma variável constante.

Passo 2

Para encontrar partial Ppartial T mantendo V constante, partimos de:
PV = nRT
Diferenciando em relação a T com V constante:
V partial Ppartial T = nR
Logo:
partial Ppartial T = nRV

Passo 3

De modo semelhante, para partial Vpartial T mantendo P constante, diferenciamos:
PV = nRT
e, com P constante,
P partial Vpartial T = nR
Logo:
partial Vpartial T = nRP

Passo 4

Multiplicando as duas derivadas parciais e multiplicando por T, obtemos:
T cdot nRV cdot nRP = T n^2 R^2PV
Como pela lei dos gases ideais PV = nRT, substituímos no denominador:
T n^2 R^2PV = T n^2 R^2nR T = nR
Isso prova que
T partial Ppartial T partial Vpartial T = nR

Resposta

T partial Ppartial T partial Vpartial T = nR

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