Calcule a integral de superfície de f(x, y, z) sobre a superfície S, onde:
f(x, y, z)=x^2 e S é a esfera de raio 2 centrada na origem.

Passo 1

Estamos resolvendo a integral de superfície de f(x,y,z)=x^2 sobre a esfera S de raio 2 centrada na origem. O conteúdo é integral de superfície de função escalar e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar e calcular.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio R=2 por
x=2sinvarphicostheta, y=2sinvarphisintheta, z=2cosvarphi,
com 0<=varphi<=pi e 0<=theta<2pi. O elemento de área é
dS=R^2sinvarphi,dvarphi,dtheta=4sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 3

Em coordenadas esféricas, temos
f(x,y,z)=x^2=(2sinvarphicostheta)^2=4sin^2varphicos^2theta
e portanto
x^2,dS=4sin^2varphicos^2thetacdot4sinvarphi,dvarphi,dtheta=16sin^3varphicos^2theta,dvarphi,dtheta
Assim a integral fica
integral duplaS x^2,dS=integral0^2piintegral0^pi16sin^3varphicos^2theta,dvarphi,dtheta

Passo 4

Vamos separar a integral em theta e varphi. Calculamos
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi
e
integral0^pisin^3varphi,dvarphi=43
Multiplicando tudo:

Passo 5

O valor da integral é
16timespitimes43=64pi3

Resposta

64pi3

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