[2. Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
integral0^1 integraly-1^2-2 y f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente na área de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e reescrevê-los de maneira que possamos trocar a ordem de integração de para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração atuais. A integral está definida como:
integral0^1 integraly-1^2-2y f(x, y) , dx , dy
Aqui, a variável externa é , que varia de 0 a 1. Para cada valor de , a variável varia de até .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar para cada 0 <= y <= 1 , quais são os limites de y - 1 <= x <= 2 - 2y . Para isso, vamos visualizar ou analisar as inequações que definem a região de integração.
As inequações são:

Passo 4

Vamos resolver a segunda inequação para y <= x + 1 em termos de 2y <= 2 - x implies y <= 1 - x2 .
Primeiro, da inequação , temos:
E da inequação , temos:

Passo 5

Agora, combinando essas duas condições para y <= min(x + 1,, 1 - x2) , temos:
0 <= y <= min(x + 1,, 1 - x2)
Além disso, originalmente varia de 0 a 1, então:

Passo 6

Precisamos encontrar os valores de x + 1 = 1 - x2 implies x + x2 = 0 implies 3x2 = 0 implies x = 0 para os quais é válida. Encontramos o ponto onde :
Então, para , , e para , .

Passo 7

Portanto, os limites de vão variar de a onde varia de 0 a , e de a onde varia de 0 a .

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral-1^0 integral0^x + 1 f(x, y) , dy , dx + integral0^2 integral0^1 - x2 f(x, y) , dy , dx

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