Determine as derivadas parciais indicadas
a)
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede pra gente encontrar a derivada parcial de uma função $ f(x, y) = x^{3} y - 2(x + y) $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{y} $. Depois, a gente precisa avaliar essa derivada no ponto $ (1, 0) $. Para isso, vamos lembrar que derivada parcial em relação a $ y $ significa que tratamos $ x $ como uma constante e derivamos só em relação a $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $.
Como $ x $ é tratado como constante, a derivada de $ x^{3} y $ em relação a $ y $ é $ x^{3} $ (já que a derivada de $ y $ é 1). A derivada de $ -2x $ em relação a $ y $ é 0, porque não tem $ y $ nessa parte. E a derivada de $ -2y $ em relação a $ y $ é $ -2 $.
Então, a derivada parcial fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir o ponto $ (1, 0) $ na derivada que encontramos. Isso significa que $ x = 1 $ e $ y = 0 $, mas como a derivada só depende de $ x $, só precisamos substituir $ x $:
Resposta
A derivada parcial $ f_{y}(1, 0) $ é igual a
.