[2, Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{2-2 y} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral
\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{\,2-2y} f(x,y)\,dx\,dy.
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar:
  1. Descrever a região de integração E no plano (x,y).
  2. Projetar E no eixo x para encontrar os limites externos em x.
  3. Para cada x, achar os limites em y resolvendo as desigualdades que definem E.

Passo 2

A região E é
E = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\; y-1 \le x \le 2-2y \bigr\}.
As duas curvas de fronteira são
x = y-1 \quad\text{e}\quad x = 2-2y.

Passo 3

Para achar a projeção em x, buscamos os valores extremos de x sobre E.
No intervalo 0 \le y \le 1,
y-1\text{ varia de }-1\text{ (em }y=0)\text{ até }0\text{ (em }y=1),é
2-2y\text{ varia de }2\text{ (em }y=0)\text{ até }0\text{ (em }y=1).é
Logo x vai de -1 até 2.

Passo 4

Para um dado x\in[-1,2], y deve satisfazer simultaneamente
0\le y\le 1, \quad y\le x+1, \quad y\le \frac{2-x}{2}.
As duas retas y=x+1 e y=(2-x)/2 se cruzam em x=0,\;y=1.
  • Se -1\le x\le 0, tem x+1\le \tfrac{2-x}{2}, então 0\le y\le x+1.
  • Se 0\le x\le 2, tem \tfrac{2-x}{2}\le x+1, então 0\le y\le \frac{2-x}{2}.

Passo 5

Reescrevendo a integral com x externo e y interno, obtemos
\int_{x=-1}^{0}\!\int_{y=0}^{\,x+1} f(x,y)\,dy\,dx \;+\; \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{\,(2-x)/2} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{2-2y} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{-1}^{0}\int_{0}^{\,x+1} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{0}^{2}\int_{0}^{\,(2-x)/2} f(x,y)\,dy\,dx.

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