[2, Ex.7(d,g,h) p.73] Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar:
- Descrever a região de integração
no plano . - Projetar
no eixo para encontrar os limites externos em . - Para cada
, achar os limites em resolvendo as desigualdades que definem .
Passo 2
A região
é
As duas curvas de fronteira são
Passo 3
Para achar a projeção em
, buscamos os valores extremos de
sobre
.
No intervalo ,
No intervalo
Logo
vai de
até
.
Passo 4
Para um dado
,
deve satisfazer simultaneamente
As duas retas
e
se cruzam em
.
- Se
, tem , então - Se
, tem , então
Passo 5
Reescrevendo a integral com
externo e
interno, obtemos