Questão 4 Calcule o fluxo de
pelo pedaço do paraboloide
,
, orientada de forma que o vetor normal esteja se afastando do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através do pedaço do paraboloide
através do pedaço do paraboloide
orientado de modo que o vetor normal afaste‐se do eixo
.
Conteúdo: cálculo de fluxo por parametrização de superfície. Usaremos
Conteúdo: cálculo de fluxo por parametrização de superfície. Usaremos
Passo 2
Parametrizamos
por
com domínio projeto
.
Calculamos as derivadas parciais:
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial é
Note que a componente radial
aponta para fora do eixo
, conforme exigido.
Passo 3
Substituímos
em
:
O produto escalar com
é
Assim o fluxo é
Passo 4
Mudamos para coordenadas polares:
,
,
,
.
Então
Então
e
. O integrando fica
Logo
Passo 5
Separamos em três integrais:
Sabemos
Logo
Como
Sabemos
Logo
Somando,