Questão 4 Calcule o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}, \operatorname{sen}(z), y^{2}\right) pelo pedaço do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2}, z \geq 0, orientada de forma que o vetor normal esteja se afastando do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(x^{3},\sin(z),y^{2}\bigr)
através do pedaço do paraboloide
S:\; z = 4 - x^{2} - y^{2},\quad z\ge0,
orientado de modo que o vetor normal afaste‐se do eixo z.
Conteúdo: cálculo de fluxo por parametrização de superfície. Usaremos
\Phi = \iint_{S}\vec{F}\cdot \hat{n}\,dS = \iint_{D}\vec{F}\bigl(r(x,y)\bigr)\cdot\bigl(r_{x}\times r_{y}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;4 - x^{2} - y^{2}\bigr),
com domínio projeto D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
Calculamos as derivadas parciais:
r_{x} = (1,\,0,\,-2x), \quad r_{y} = (0,\,1,\,-2y).
O produto vetorial é
r_{x}\times r_{y} = (2x,\,2y,\,1).
Note que a componente radial (2x,2y) aponta para fora do eixo z, conforme exigido.

Passo 3

Substituímos z=4-x^{2}-y^{2} em \vec{F}:
\vec{F}\bigl(r(x,y)\bigr) = \bigl(x^{3},\;\operatorname{sen}(4 - x^{2}-y^{2}),\;y^{2}\bigr).
O produto escalar com r_{x}\times r_{y} é
\vec{F}\cdot (r_{x}\times r_{y}) = x^{3}(2x)\;+\;\operatorname{sen}(4 - x^{2}-y^{2})(2y)\;+\;y^{2}\cdot1 = 2x^{4} \;+\;2y\,\operatorname{sen}(4 - r^{2})\;+\;y^{2}.
Assim o fluxo é
\Phi = \iint_{D} \bigl(2x^{4} + 2y\,\operatorname{sen}(4 - x^{2}-y^{2}) + y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Mudamos para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi.
Então
2x^{4} = 2r^{4}\cos^{4}\theta, \quad 2y\,\operatorname{sen}(4 - r^{2}) = 2r\sin\theta\,\operatorname{sen}(4 - r^{2}), \quad y^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta,
e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. O integrando fica
2r^{5}\cos^{4}\theta \;+\;2r^{2}\sin\theta\,\operatorname{sen}(4 - r^{2}) \;+\;r^{3}\sin^{2}\theta.
Logo
\Phi = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \bigl(2r^{5}\cos^{4}\theta +2r^{2}\sin\theta\,\operatorname{sen}(4 - r^{2})+r^{3}\sin^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separamos em três integrais:
1. I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2}2r^{5}\,dr.
Sabemos \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{3\pi}{4} e
\displaystyle\int_{0}^{2}2r^{5}\,dr = 2\cdot\frac{2^{6}}{6} = \tfrac{64}{3}.
Logo I_{1} = \tfrac{3\pi}{4}\cdot\tfrac{64}{3} = 16\pi. 2. I_{2}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2}2r^{2}\,\operatorname{sen}(4 - r^{2})\,dr.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, temos I_{2}=0. 3. I_{3}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2}r^{3}\,dr.
Sabemos \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi e
\displaystyle\int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \frac{2^{4}}{4} = 4.
Logo I_{3} = \pi\cdot4 = 4\pi.
Somando, \Phi = I_{1}+I_{2}+I_{3} = 16\pi + 0 +4\pi = 20\pi.

Resposta

20\pi.

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