Questão 5 Considere as funções f, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} dadas por f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e g(x, y, z)= 1 / 2-f(x, y, z) e seja E \subset \mathbb{R}^{3} a esfera sólida de centro 0 e raio 1 . Escreva a fórmula de integração por partes para f \partial_{x} g em E e use-a para calcular a integral de f \partial_{x} g em E.

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad g(x,y,z)=\tfrac12 - (x^{2}+y^{2}+z^{2})
e pede
\int_{E}f\,\partial_{x}g\,dV,
onde E é a bola sólida de raio 1 centrada na origem. Vamos usar a fórmula de integração por partes em multivariáveis (caso especial do teorema da divergência).

Passo 2

A fórmula de integração por partes para Diferenciação em x é
\int_{E}f\,\partial_{x}g\,dV =\int_{\partial E}f\,g\,n_{x}\,dS -\int_{E}(\partial_{x}f)\,g\,dV,
onde n_x é a componente x do vetor normal unitário à superfície \partial E.

Passo 3

Na superfície \partial E temos r=1, isto é x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Logo
f\big|_{\partial E}=1,\quad g\big|_{\partial E}=\tfrac12-1=-\tfrac12,\quad n_x=\frac{x}{r}=x.
Portanto o termo de contorno é
\int_{\partial E}f\,g\,n_x\,dS =\int_{\partial E}1\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot x\,dS =-\tfrac12\int_{\partial E}x\,dS.
Por simetria de uma esfera \displaystyle\int_{\partial E}x\,dS=0. Assim o termo de contorno vale 0.

Passo 4

No volume usamos
\partial_{x}f=\partial_{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2x,
então
\int_{E}(\partial_{x}f)\,g\,dV =\int_{E}2x\Bigl(\tfrac12 - (x^{2}+y^{2}+z^{2})\Bigr)dV =2\int_{E}x\Bigl(\tfrac12 - r^{2}\Bigr)dV.
Cada termo \displaystyle\int_{E}x\,dV e \displaystyle\int_{E}x\,r^{2}dV é zero por simetria ímpar em x. Logo este integral também vale 0.

Passo 5

Substituindo na fórmula de integração por partes:
\int_{E}f\,\partial_{x}g\,dV =0 - 0 = 0.

Resposta

0.

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