[2, Ex.4, p.187] Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua com f(3)=4 e seja g(x, y, z)=\int_{0}{x+y{2}+z^{4}} f(t) d t. Calcule
\

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e f(3)=4.
  • A função g é definida por
g(x,y,z)=\int_{0}^{x+y^{2}+z^{4}} f(t)\,dt.
O que o enunciado pede (vou assumir a questão clássica aqui): calcular as derivadas parciais
\frac{\partial g}{\partial x}(1,1,1),\qquad \frac{\partial g}{\partial y}(1,1,1),\qquad \frac{\partial g}{\partial z}(1,1,1).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
  • Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): se h(u)=\int_{0}^{u} f(t)\,dt e f é contínua, então
h'(u)=f(u).
Isso significa: a derivada da integral cuja cota superior é u é justamente o integrando avaliado em u.
  • Regra da cadeia para derivadas parciais: se g(x,y,z)=h\big(U(x,y,z)\big), então
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)=h'\big(U(x,y,z)\big)\cdot \frac{\partial U}{\partial x}(x,y,z).
No nosso caso, h(u)=\int_{0}^{u} f(t)\,dt e U(x,y,z)=x+y^{2}+z^{4}. Logo, combinando os dois resultados,
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)=f\big(U(x,y,z)\big)\cdot \frac{\partial U}{\partial x}(x,y,z),
e analogamente para as outras variáveis.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de U(x,y,z)=x+y^{2}+z^{4}.
  • Derivada em relação a x: x aparece como termo x, então
\frac{\partial U}{\partial x}(x,y,z)=1.
  • Derivada em relação a y: usar a regra do poder ( d(y^{2})/dy=2y):
\frac{\partial U}{\partial y}(x,y,z)=2y.
  • Derivada em relação a z: usar a regra do poder ( d(z^{4})/dz=4z^{3}):
\frac{\partial U}{\partial z}(x,y,z)=4z^{3}.

Passo 4

Aplicar a fórmula combinada e avaliar em (1,1,1).
Primeiro calcule a cota superior em (1,1,1):
U(1,1,1)=1+1^{2}+1^{4}=1+1+1=3.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, h'(u)=f(u), então em U(1,1,1) obtemos f\big(U(1,1,1)\big)=f(3). O enunciado nos deu f(3)=4.
Agora combine com as derivadas de U:
\frac{\partial g}{\partial x}(1,1,1)=f(3)\cdot 1=4\cdot 1=4,
\frac{\partial g}{\partial y}(1,1,1)=f(3)\cdot 2\cdot 1=4\cdot 2=8,
\frac{\partial g}{\partial z}(1,1,1)=f(3)\cdot 4\cdot 1^{3}=4\cdot 4=16.
Se quiser pensar rápido: derivada da integral é o integrando no limite vezes a derivada desse limite.

Passo 5

Interpretação final rápida e motivadora: o gradiente \nabla g(1,1,1) é o vetor formado por essas três derivadas parciais, ou seja (4,8,16). Você chega nisso usando só o Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia — um combo bem útil que cai muito em prova. Bora anotar isso e treinar mais alguns exemplos parecidos pra fixar!

Resposta

\dfrac{\partial g}{\partial x}(1,1,1)=4
\dfrac{\partial g}{\partial y}(1,1,1)=8
\dfrac{\partial g}{\partial z}(1,1,1)=16

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