[2, Ex.4, p.187] Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua com f(3)=4 e seja g(x, y, z)=\int_{0}{x+y{2}+z^{4}} f(t) d t. Calcule
\
\
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é contínua e . - A função
é definida por
O que o enunciado pede (vou assumir a questão clássica aqui): calcular as derivadas parciais
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
- Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): se
e é contínua, então
Isso significa: a derivada da integral cuja cota superior é
é justamente o integrando avaliado em
.
- Regra da cadeia para derivadas parciais: se
, então
No nosso caso,
e
. Logo, combinando os dois resultados,
e analogamente para as outras variáveis.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada em relação a
: aparece como termo , então
- Derivada em relação a
: usar a regra do poder ( ):
- Derivada em relação a
: usar a regra do poder ( ):
Passo 4
Aplicar a fórmula combinada e avaliar em
.
Primeiro calcule a cota superior em :
Primeiro calcule a cota superior em
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
, então em
obtemos
. O enunciado nos deu
.
Agora combine com as derivadas de
:
Se quiser pensar rápido: derivada da integral é o integrando no limite vezes a derivada desse limite.
Passo 5
Interpretação final rápida e motivadora: o gradiente
é o vetor formado por essas três derivadas parciais, ou seja
. Você chega nisso usando só o Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia — um combo bem útil que cai muito em prova. Bora anotar isso e treinar mais alguns exemplos parecidos pra fixar!