Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
f(x, y)=y^{3} \ln \left(x{2}+y{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=y^{3}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
As perguntas são:
  • Calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Determinar o domínio da função f e o domínio onde as derivadas parciais estão definidas.
Informações relevantes dadas:
  • A função envolve \ln(\cdot), então o argumento de \ln precisa ser estritamente positivo: x^{2}+y^{2}>0.

Passo 2

Conceitos/ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Definição prática de derivada parcial: para \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e deriva-se f em relação a x; para \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante e deriva-se em relação a y.
  • Regras de diferenciação que usaremos:
    • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então \frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.Aqui é igual para \partial/\partial y trocando x por y.
    • Regra da cadeia (para \ln): se g(t)=\ln t e t=h(x,y), então \frac{\partial}{\partial x}\ln(h(x,y))=\frac{1}{h(x,y)}\frac{\partial h}{\partial x}.
  • Aplicação específica: nossa função é produto de y^3 por \ln(x^2+y^2). Ao derivar em x, y^3 é constante; ao derivar em y, aplica-se regra do produto porque y^3 depende de y.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  1. Identificar as partes como produto:
f(x,y)=\underbrace{y^{3}}_{\text{constante em }x}\cdot\underbrace{\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}_{g(x,y)}.
  1. Como y^{3} é tratado como constante em relação a x, aplica-se apenas a regra da cadeia em g:
\frac{\partial}{\partial x}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}\right).
  1. Calcular \dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}\right). Aqui y^{2} é constante em x, então
\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2x.
  1. Reunindo:
\frac{\partial}{\partial x}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
  1. Multiplicando pelo fator y^{3} (que esteve fora):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{3}\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}} =\frac{2x\,y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  1. Agora f é produto de duas funções que dependem de y: u(y)=y^{3} e v(y)=\ln(x^{2}+y^{2}). Aplicar regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big)\cdot\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) +y^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
  1. Calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big):
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big)=3y^{2}.
  1. Calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) usando regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}+y^{2}\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
  1. Substituindo na regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =3y^{2}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+y^{3}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
  1. Simplificando o segundo termo ( y^{3}\cdot 2y = 2y^{4}):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =3y^{2}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{2y^{4}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Determinação dos domínios (explicação didática e raciocínio).
  • Domínio da função f: o argumento de \ln é x^{2}+y^{2}. Para \ln ser definido, precisa-se de
    x^{2}+y^{2}>0.
    Isso é verdadeiro para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} exceto o ponto (0,0), onde x^{2}+y^{2}=0. Portanto o domínio de f é
    \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
    (Intuição: a função está bem definida para qualquer ponto fora da origem.)
  • Domínio das derivadas parciais: as fórmulas obtidas contêm o denominador x^{2}+y^{2} e também a função \ln(x^{2}+y^{2}) (no caso de \partial f/\partial y). Portanto, para que as expressões das derivadas façam sentido, precisamos de x^{2}+y^{2}>0. Logo o domínio onde as derivadas parciais estão definidas é o mesmo da função:
    \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x\,y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{2y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
Domínio da função e das derivadas: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

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