Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
f(x, y)=y^{3} \ln \left(x{2}+y{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=y^{3}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
As perguntas são:
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Determinar o domínio da função f e o domínio onde as derivadas parciais estão definidas.
Informações relevantes dadas:
A função envolve \ln(\cdot), então o argumento de \ln precisa ser estritamente positivo: x^{2}+y^{2}>0.
Passo 2
Conceitos/ferramentas que vamos usar (explicação didática):
Definição prática de derivada parcial: para \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e deriva-se f em relação a x; para \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante e deriva-se em relação a y.
Regras de diferenciação que usaremos:
Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.Aqui é igual para \partial/\partial y trocando x por y.
Regra da cadeia (para \ln): se g(t)=\ln t e t=h(x,y), então\frac{\partial}{\partial x}\ln(h(x,y))=\frac{1}{h(x,y)}\frac{\partial h}{\partial x}.
Aplicação específica: nossa função é produto de y^3 por \ln(x^2+y^2). Ao derivar em x, y^3 é constante; ao derivar em y, aplica-se regra do produto porque y^3 depende de y.
Passo 3
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
Identificar as partes como produto:
f(x,y)=\underbrace{y^{3}}_{\text{constante em }x}\cdot\underbrace{\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}_{g(x,y)}.
Como y^{3} é tratado como constante em relação a x, aplica-se apenas a regra da cadeia em g:
(Intuição: a função está bem definida para qualquer ponto fora da origem.)
Domínio das derivadas parciais: as fórmulas obtidas contêm o denominador x^{2}+y^{2} e também a função \ln(x^{2}+y^{2}) (no caso de \partial f/\partial y). Portanto, para que as expressões das derivadas façam sentido, precisamos de x^{2}+y^{2}>0. Logo o domínio onde as derivadas parciais estão definidas é o mesmo da função: