Determine o ponto do plano 2 x+y+3 z=6 mais próximo da origem. Dica: minimize o quadrado da distância.

Passo 1

O enunciado pede o ponto do plano 2x+y+3z=6 que fica mais próximo da origem. Isso equivale a minimizar a distância da origem até um ponto (x,y,z) no plano. Para não lidar com raiz quadrada, vamos minimizar o quadrado da distância e usar multiplicadores de Lagrange, que é o método de otimização com restrição.

Passo 2

Definimos a função objetivo como o quadrado da distância até a origem:
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
e a restrição do plano:
g(x,y,z)=2x+y+3z-6=0
Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, devemos ter
nabla f=lambdanabla g

Passo 3

Calculamos os gradientes e igualamos:
nabla f=(2x,2y,2z),nabla g=(2,1,3),
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2x=2lambda, 2y=lambda, 2z=3lambda
Desse sistema vem
x=lambda, y=tfraclambda2, z=tfrac3lambda2

Passo 4

Substituímos esses valores na equação do plano para encontrar lambda:
2(lambda)+tfraclambda2+3l(tfrac3lambda2r)=6
2lambda+tfraclambda2+tfrac9lambda2=6implies 2lambda+5lambda=6implies 7lambda=6implies lambda=tfrac67

Passo 5

Finalmente, usando lambda=6/7 obtemos
x=tfrac67, y=tfrac37, z=tfrac97

Resposta

l(tfrac67,;tfrac37,;tfrac97r)

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