Determine o ponto do plano
mais próximo da origem. Dica: minimize o quadrado da distância.
Passo 1
O enunciado pede o ponto do plano
que fica mais próximo da origem. Isso equivale a minimizar a distância da origem até um ponto
no plano. Para não lidar com raiz quadrada, vamos minimizar o quadrado da distância e usar multiplicadores de Lagrange, que é o método de otimização com restrição.
Passo 2
Definimos a função objetivo como o quadrado da distância até a origem:
e a restrição do plano:
Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, devemos ter
Passo 3
Calculamos os gradientes e igualamos:
logo
Desse sistema vem
Passo 4
Substituímos esses valores na equação do plano para encontrar
:
Passo 5
Finalmente, usando
obtemos