[2] Uma fábrica produz caixas retangulares abertas no topo. O custo do material para a base é de 10 \mathrm{R} por metro quadrado, e o custo do material para os lados é deé5 \mathrm{R} $$ por metro quadrado. As dimensões planejadas para uma caixa são um comprimento de 2 metros e uma largura de 1,5 metros, com uma altura fixa de I metro. Devido a pequenas imprecisões no processo de corte, o comprimento da base acaba sendo 2.05 metros e a largura 1.45 metros.

Passo 1

O enunciado dá uma caixa retangular aberta no topo e fornece custos por área dos materiais e dimensões planejadas e reais. As informações relevantes são:
  • custo do material da base: 10\\ \mathrm{R\$} por metro quadrado;
  • custo do material dos lados: 5\\ \mathrm{R\$} por metro quadrado;
  • dimensões planejadas: comprimento L_0=2 m, largura W_0=1,5 m, altura fixa H=1 m;
  • dimensões reais (devido à imprecisão): comprimento L=2,05 m e largura W=1,45 m (observe que H permanece 1 m).
O que vamos calcular (as perguntas que o enunciado implica):
  • determinar a variação do custo causada pelas pequenas imprecisões nas dimensões;
  • obter uma aproximação dessa variação usando diferenciais (linearização) e comparar com o valor exato.

Passo 2

Montar a fórmula do custo total em função do comprimento L e da largura W.
Explicação das áreas:
  • área da base (retângulo) é L\cdot W (m²).
  • a caixa é aberta no topo, então não há área do tampo.
  • áreas dos quatro lados: dois lados têm dimensão L\times H e outros dois têm dimensão W\times H. Assim, área total dos lados é 2LH + 2WH = 2H(L+W) .
Agora o custo:
  • custo da base = preço por m² da base \times área da base = 10\cdot (L W).
  • custo dos lados = preço por m² dos lados \times área total dos lados = 5\cdot (2H(L+W)).
Com H=1 m, simplificamos:
C(L,W)=10\,L W + 5\cdot 2\cdot 1\cdot (L+W).
\Rightarrow C(L,W)=10\,L W +10(L+W).
Aqui C(L,W) está em reais ( \mathrm{R\$}).

Passo 3

Usar diferenciais / aproximação linear para estimar a variação do custo quando L e W mudam um pouco.
Conceito rápido: para uma função de duas variáveis C(L,W), a variação aproximada quando L muda de L_0 para L_0+\Delta L e W muda de W_0 para W_0+\Delta W é dada por
\mathrm{d}C \approx C_L(L_0,W_0)\,\mathrm{d}L + C_W(L_0,W_0)\,\mathrm{d}W,
onde C_L e C_W são as derivadas parciais de C em relação a L e W respectivamente, e \mathrm{d}L=\Delta L, \mathrm{d}W=\Delta W.
Calculamos as derivadas parciais de C(L,W)=10LW+10L+10W:
C_L(L,W)=\frac{\partial C}{\partial L}=10W+10,
C_W(L,W)=\frac{\partial C}{\partial W}=10L+10.
Interpretação: C_L é a taxa de variação do custo quando se aumenta L mantendo W fixo; C_W é a taxa quando se aumenta W mantendo L fixo.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto planejado (L_0,W_0)=(2,1,5) e calcular a aproximação da variação.
Primeiro os incrementos reais:
\mathrm{d}L = L-L_0 = 2{,}05-2 = 0{,}05,
\mathrm{d}W = W-W_0 = 1{,}45-1{,}5 = -0{,}05.
Avaliar C_L e C_W em (2,1{,}5):
C_L(2,1{,}5)=10\cdot 1{,}5 +10 =15+10=25,
C_W(2,1{,}5)=10\cdot 2 +10 =20+10=30.
Agora a aproximação pela diferencial:
\mathrm{d}C \approx 25\cdot 0{,}05 + 30\cdot(-0{,}05).
Calculemos:
25\cdot 0{,}05 = 1{,}25,\qquad 30\cdot 0{,}05 = 1{,}50,
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\mathrm{d}C \approx 1{,}25 - 1{,}50 = -0{,}25.
Interpretação: pela aproximação linear, o custo diminui aproximadamente \mathrm{R\$}\,0{,}25.

Passo 5

Calcular o valor exato do custo planejado e do custo com as dimensões reais, e a variação exata (sem aproximação).
Custo planejado C(2,1{,}5):
C(2,1{,}5)=10\cdot(2\cdot 1{,}5)+10(2+1{,}5).
Calcule passo a passo:
2\cdot 1{,}5 = 3,
10\cdot 3 = 30,
2+1{,}5 = 3{,}5,\quad 10\cdot 3{,}5 = 35,
C(2,1{,}5) = 30 + 35 = 65.
Portanto o custo planejado é \mathrm{R\$}\,65.
Custo com dimensões reais C(2{,}05,1{,}45):
L W = 2{,}05\cdot 1{,}45 = 2{,}9725,
10\cdot(LW)=10\cdot 2{,}9725 = 29{,}725,
L+W = 2{,}05 + 1{,}45 = 3{,}50,\quad 10\cdot (L+W)=35,
C(2{,}05,1{,}45) = 29{,}725 + 35 = 64{,}725.
Portanto o custo real é \mathrm{R\$}\,64{,}725.
Variação exata:
\Delta C = C(2{,}05,1{,}45) - C(2,1{,}5) = 64{,}725 - 65 = -0{,}275.
Interpretação: o custo diminuiu exatamente \mathrm{R\$}\,0{,}275.
Comparação aproximação × exato:
  • aproximação pela diferencial: -0{,}25\\ \mathrm{R\$};
  • valor exato: -0{,}275\\ \mathrm{R\$}.
    A diferença entre os dois é -0{,}275 - (-0{,}25) = -0{,}025\\ \mathrm{R\$} (erro absoluto 0{,}025\\ \mathrm{R\$}), que é pequeno — a aproximação linear funcionou bem para estas pequenas imprecisões.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova:
  • monte sempre a função custo (ou outra grandeza) em termos das variáveis que realmente mudam; aqui C(L,W);
  • compute as derivadas parciais e use \mathrm{d}C \approx C_L\,\mathrm{d}L + C_W\,\mathrm{d}W quando os erros são pequenos;
  • é bom também, quando dá tempo, calcular o valor exato e comparar para checar a precisão da aproximação. Isso mostra segurança na prova e gera uma resposta mais completa.

Resposta

Custo planejado: \mathrm{R\$}\,65
Custo com dimensões reais: \mathrm{R\$}\,64{,}725
Variação exata do custo: -\mathrm{R\$}\,0{,}275 (diminuição)
Aproximação por diferenciais: -\mathrm{R\$}\,0{,}25 (diminuição)

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