[2] Uma fábrica produz caixas retangulares abertas no topo. O custo do material para a base é de
5 \mathrm{R} $$ por metro quadrado. As dimensões planejadas para uma caixa são um comprimento de 2 metros e uma largura de 1,5 metros, com uma altura fixa de I metro. Devido a pequenas imprecisões no processo de corte, o comprimento da base acaba sendo 2.05 metros e a largura 1.45 metros.
Passo 1
O enunciado dá uma caixa retangular aberta no topo e fornece custos por área dos materiais e dimensões planejadas e reais. As informações relevantes são:
- custo do material da base:
por metro quadrado; - custo do material dos lados:
por metro quadrado; - dimensões planejadas: comprimento
m, largura m, altura fixa m; - dimensões reais (devido à imprecisão): comprimento
m e largura m (observe que permanece m).
O que vamos calcular (as perguntas que o enunciado implica):
- determinar a variação do custo causada pelas pequenas imprecisões nas dimensões;
- obter uma aproximação dessa variação usando diferenciais (linearização) e comparar com o valor exato.
Passo 2
Montar a fórmula do custo total em função do comprimento
e da largura
.
Explicação das áreas:
- área da base (retângulo) é
(m²). - a caixa é aberta no topo, então não há área do tampo.
- áreas dos quatro lados: dois lados têm dimensão
e outros dois têm dimensão . Assim, área total dos lados é .
Agora o custo:
- custo da base = preço por m² da base
área da base = . - custo dos lados = preço por m² dos lados
área total dos lados = .
Com
m, simplificamos:
Aqui
está em reais (
).
Passo 3
Usar diferenciais / aproximação linear para estimar a variação do custo quando
e
mudam um pouco.
Conceito rápido: para uma função de duas variáveis
, a variação aproximada quando
muda de
para
e
muda de
para
é dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
respectivamente, e
,
.
Calculamos as derivadas parciais de
:
Interpretação:
é a taxa de variação do custo quando se aumenta
mantendo
fixo;
é a taxa quando se aumenta
mantendo
fixo.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto planejado
e calcular a aproximação da variação.
Primeiro os incrementos reais:
Avaliar
e
em
:
Agora a aproximação pela diferencial:
Calculemos:
logo
Interpretação: pela aproximação linear, o custo diminui aproximadamente
.
Passo 5
Calcular o valor exato do custo planejado e do custo com as dimensões reais, e a variação exata (sem aproximação).
Custo planejado
:
Calcule passo a passo:
Portanto o custo planejado é
.
Custo com dimensões reais
:
Portanto o custo real é
.
Variação exata:
Interpretação: o custo diminuiu exatamente
.
Comparação aproximação × exato:
- aproximação pela diferencial:
; - valor exato:
.
A diferença entre os dois é(erro absoluto ), que é pequeno — a aproximação linear funcionou bem para estas pequenas imprecisões.
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova:
- monte sempre a função custo (ou outra grandeza) em termos das variáveis que realmente mudam; aqui
; - compute as derivadas parciais e use
quando os erros são pequenos; - é bom também, quando dá tempo, calcular o valor exato e comparar para checar a precisão da aproximação. Isso mostra segurança na prova e gera uma resposta mais completa.
Resposta
Custo planejado:
Custo com dimensões reais:
Variação exata do custo: (diminuição)
Aproximação por diferenciais: (diminuição)
Custo com dimensões reais:
Variação exata do custo:
Aproximação por diferenciais: