[2] Uma fábrica produz caixas retangulares abertas no topo. O custo do material para a base é de 10 R
\(por metro quadrado, e o custo do material para os lados é de\)5 \mathrm{R}
por metro quadrado. As dimensōes planejadas para uma caixa são um comprimento de 2 metros e uma largura de 1,5 metros, com uma altura fixa de 1 metro. Devido a pequenas imprecisões no processo de corte, o comprimento da base acaba sendo 2.05 metros e a largura 1.45 metros.
(a) (2,0 pontos) Use o diferencial total para estimar a variação no custo total do material devido às imprecisōes no comprimento e na largura da base.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pedido: “Use o diferencial total para estimar a variação no custo total do material devido às imprecisões no comprimento e na largura da base.” Em outras palavras, estimar a variação aproximada \mathrm{d}C do custo quando o comprimento e a largura mudam ligeiramente.
  • Dados fornecidos:
    • Custo do material da base: 10\\ \mathrm{R\$} por metro quadrado.
    • Custo do material dos lados: 5\\ \mathrm{R\$} por metro quadrado.
    • Altura fixa: h=1\\ \mathrm{m}.
    • Dimensões planejadas (ponto de referência): comprimento \,l_0=2{,}0\\ \mathrm{m}, largura \,w_0=1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Dimensões reais devido à imprecisão: comprimento \,l=2{,}05\\ \mathrm{m}, largura \,w=1{,}45\\ \mathrm{m}.
    • Portanto as variações são \mathrm{d}l=2{,}05-2{,}0=0{,}05\\ \mathrm{m} e \mathrm{d}w=1{,}45-1{,}5=-0{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Modelar o custo total C como função das variáveis l (comprimento) e w (largura).
  • Área da base: área base = l\cdot w.
  • Área total dos quatro lados (caixa aberta no topo, altura h): duas faces têm área l\cdot h e duas têm área w\cdot h. Logo área dos lados =2(lh)+2(wh)=2h(l+w).
  • Como h=1, a área dos lados simplifica para 2(l+w).
  • Custos: base é 10 por \mathrm{m}^2, lados é 5 por \mathrm{m}^2. Então o custo total é
C(l,w)=10\cdot(lw)+5\cdot\big(2(l+w)\big).
  • Simplificando,
C(l,w)=10(lw)+10(l+w)=10\big(lw+l+w\big).

Passo 3

Relembrar o conceito de diferencial total e como aplicá-lo a C(l,w).
  • Se C=C(l,w) é diferenciável, o diferencial total \mathrm{d}C fornece a variação linear aproximada de C quando l e w mudam um pouco:
\mathrm{d}C \approx \frac{\partial C}{\partial l}\,\mathrm{d}l + \frac{\partial C}{\partial w}\,\mathrm{d}w.
  • Aqui \frac{\partial C}{\partial l} é a derivada parcial de C em relação a l mantendo w fixo (ou seja, taxa de variação do custo por variação do comprimento), e análogo para \frac{\partial C}{\partial w}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de C(l,w)=10(lw+l+w).
  • Derivando em relação a l (tratando w como constante):
\frac{\partial C}{\partial l}=10\bigg(\frac{\partial}{\partial l}(lw)+\frac{\partial}{\partial l}l+\frac{\partial}{\partial l}w\bigg) =10\big(w+1+0\big)=10(w+1).
  • Derivando em relação a w (tratando l como constante):
\frac{\partial C}{\partial w}=10\bigg(\frac{\partial}{\partial w}(lw)+\frac{\partial}{\partial w}l+\frac{\partial}{\partial w}w\bigg) =10\big(l+0+1\big)=10(l+1).

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto planejado (l_0,w_0)=(2{,}0,\,1{,}5).
  • Substituindo w_0=1{,}5 na expressão de \frac{\partial C}{\partial l}:
\frac{\partial C}{\partial l}\Big|_{(2{,}0,\,1{,}5)}=10(1{,}5+1)=10\cdot 2{,}5=25.
  • Substituindo l_0=2{,}0 na expressão de \frac{\partial C}{\partial w}:
\frac{\partial C}{\partial w}\Big|_{(2{,}0,\,1{,}5)}=10(2{,}0+1)=10\cdot 3{,}0=30.
  • Interpretação rápida: perto das dimensões planejadas, um aumento de 1\\ \mathrm{m} no comprimento aumenta o custo em cerca de 25\\ \mathrm{R\$}; um aumento de 1\\ \mathrm{m} na largura aumenta o custo em cerca de 30\\ \mathrm{R\$}.

Passo 6

Aplicar a fórmula do diferencial total com \mathrm{d}l=0{,}05 e \mathrm{d}w=-0{,}05.
  • Usando
\mathrm{d}C \approx \frac{\partial C}{\partial l}\Big|_{(l_0,w_0)}\mathrm{d}l + \frac{\partial C}{\partial w}\Big|_{(l_0,w_0)}\mathrm{d}w,
temos
\mathrm{d}C \approx 25\cdot(0{,}05) + 30\cdot(-0{,}05).
  • Calculando:
25\cdot 0{,}05 = 1{,}25,\qquad 30\cdot(-0{,}05) = -1{,}50.
Logo
\mathrm{d}C \approx 1{,}25 - 1{,}50 = -0{,}25.

Passo 7

Interpretação do resultado e observações finais.
  • O diferencial estima uma diminuição no custo de aproximadamente -0{,}25\\ \mathrm{R\$}. Ou seja, devido às imprecisões (comprimento um pouco maior e largura um pouco menor), o custo previsto é cerca de 0{,}25\\ \mathrm{R\$} menor do que o custo planejado.
  • Observação sobre precisão: o diferencial fornece uma boa aproximação quando as variações são pequenas (aqui são 5\\ \mathrm{cm}), por isso esse resultado é confiável como estimativa linear. Se você quisesse o valor exato poderia calcular C(2{,}05,1{,}45)-C(2{,}0,1{,}5), mas o exercício pediu explicitamente usar o diferencial.

Resposta

-0{,}25\\ \mathrm{R\$}

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