[1] Considere a função
(a) (2,0 ponto) Para qual valor de
, a curva de nível
é uma elipse que passa pelo ponto
?
(b)
pontos
Dada a curva parametrizada
Mostre que a curva a
está contida em uma curva de nível da função
. Qual é o valor dessa curva de nível?
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
Há duas perguntas:
(a) Para qual valor de a curva de nível
, é uma elipse que passa pelo ponto
?
(b) Dada a curva parametrizada , mostrar que essa curva está contida numa curva de nível de
e determinar o valor dessa curva de nível.
(a) Para qual valor de
(b) Dada a curva parametrizada
As informações relevantes que temos são: a expressão de
e o ponto
para (a); e a parametrização
para (b). A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é uma curva de nível: para uma função
e um número real
, a curva de nível associada é o conjunto de pontos
que satisfazem
No nosso caso a equação da curva de nível é
Uma equação da forma
com
e
representa uma elipse centrada na origem. Podemos transformar a equação de
em uma forma padrão dividindo por
(quando
):
Daí vemos que, para
, a curva de nível é realmente uma elipse com semi-eixos
e
.
Passo 3
Agora resolvemos a parte (a): pedem o valor de
de forma que a curva de nível passe por
. Isso significa que devemos ter
Calculamos
substituindo
e
na definição de
:
Passo 4
Executando a conta do passo anterior:
Portanto
. Concluímos que o valor de
pedido é
Para confirmar, a curva de nível é a elipse
que, dividindo por
, fica
ou seja, semi-eixos
e
, e realmente passa por
.
Passo 5
Agora a parte (b). A estratégia para mostrar que a curva parametrizada
está contida numa curva de nível é calcular a função composta
e verificar se o resultado é uma constante (independente de
). Se for constante igual a
, então todo ponto
satisfaz
e assim a curva parametrizada está contida na curva de nível
.
Passo 6
Escrevemos
com
e
. Substituímos na expressão de
:
Calculamos termo a termo:
portanto
Passo 7
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
válida para todo
. Assim obtemos
para todo
. Isso mostra que todos os pontos da curva parametrizada satisfazem
. Portanto a curva
está contida na curva de nível correspondente a
, cuja equação é
Note que essa é a elipse padrão com semi-eixos
e
, e a parametrização dada é exatamente a parametrização elíptica
.
Passo 8
Resumo prático para a prova (dica amiga): para (a) basta substituir o ponto dado em
e achar
. Para (b) calcule
; se sair uma constante, pronto — a curva está numa curva de nível. Essas são operações rápidas (substituir e usar
), então dá pra fazer em poucos segundos. Força — você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)