[1] Considere a função
f(x, y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}
(a) (2,0 ponto) Para qual valor de c, a curva de nível f(x, y)=c é uma elipse que passa pelo ponto (2,1) ?
(b) (2,0 pontos ) Dada a curva parametrizada
r(t)=(2 \cos (t), \operatorname{sen}(t)), \quad t \in[0,2 \pi] .
Mostre que a curva a r(t) está contida em uma curva de nível da função f(x, y). Qual é o valor dessa curva de nível?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}.
Há duas perguntas:
(a) Para qual valor de c a curva de nível \,f(x,y)=c, é uma elipse que passa pelo ponto (2,1)?
(b) Dada a curva parametrizada \,r(t)=(2\cos t,\sin t),\;t\in[0,2\pi], mostrar que essa curva está contida numa curva de nível de f e determinar o valor dessa curva de nível.
As informações relevantes que temos são: a expressão de f e o ponto (2,1) para (a); e a parametrização r(t) para (b). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é uma curva de nível: para uma função f(x,y) e um número real c, a curva de nível associada é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
No nosso caso a equação da curva de nível é
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=c.
Uma equação da forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
com a>0 e b>0 representa uma elipse centrada na origem. Podemos transformar a equação de f em uma forma padrão dividindo por c (quando c>0):
\frac{x^{2}}{4c}+\frac{y^{2}}{c}=1.
Daí vemos que, para c>0, a curva de nível é realmente uma elipse com semi-eixos a=2\sqrt{c} e b=\sqrt{c}.

Passo 3

Agora resolvemos a parte (a): pedem o valor de c de forma que a curva de nível passe por (2,1). Isso significa que devemos ter
f(2,1)=c.
Calculamos f(2,1) substituindo x=2 e y=1 na definição de f:
f(2,1)=\frac{2^{2}}{4}+1^{2}.

Passo 4

Executando a conta do passo anterior:
\frac{2^{2}}{4}+1^{2}=\frac{4}{4}+1=1+1=2.
Portanto f(2,1)=2. Concluímos que o valor de c pedido é
c=2.
Para confirmar, a curva de nível é a elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=2,
que, dividindo por 2, fica
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1,
ou seja, semi-eixos a=2\sqrt{2} e b=\sqrt{2}, e realmente passa por (2,1).

Passo 5

Agora a parte (b). A estratégia para mostrar que a curva parametrizada r(t) está contida numa curva de nível é calcular a função composta f(r(t)) e verificar se o resultado é uma constante (independente de t). Se for constante igual a c, então todo ponto r(t) satisfaz f(x,y)=c e assim a curva parametrizada está contida na curva de nível f(x,y)=c.

Passo 6

Escrevemos r(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=2\cos t e y(t)=\sin t. Substituímos na expressão de f:
f(r(t))=\frac{(x(t))^{2}}{4}+(y(t))^{2}=\frac{(2\cos t)^{2}}{4}+(\sin t)^{2}.
Calculamos termo a termo:
\frac{(2\cos t)^{2}}{4}=\frac{4\cos^{2}t}{4}=\cos^{2}t,
portanto
f(r(t))=\cos^{2}t+\sin^{2}t.

Passo 7

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1
válida para todo t. Assim obtemos
f(r(t))=1
para todo t\in[0,2\pi]. Isso mostra que todos os pontos da curva parametrizada satisfazem f(x,y)=1. Portanto a curva r(t) está contida na curva de nível correspondente a c=1, cuja equação é
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.
Note que essa é a elipse padrão com semi-eixos a=2 e b=1, e a parametrização dada é exatamente a parametrização elíptica x=2\cos t,\;y=\sin t.

Passo 8

Resumo prático para a prova (dica amiga): para (a) basta substituir o ponto dado em f e achar c. Para (b) calcule f(r(t)); se sair uma constante, pronto — a curva está numa curva de nível. Essas são operações rápidas (substituir e usar \cos^{2}+\sin^{2}=1), então dá pra fazer em poucos segundos. Força — você consegue!

Resposta

(a) c=2
(b) c=1

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