[3] (2,0 pontos) Uma placa de metal está localizada no plano
, e sua temperatura em um ponto (
) é dada por
graus Celsius. Em que direçāo a taxa de variação da temperatura no ponto
é máxima? Qual é o valor dessa taxa máxima?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura numa placa pelo campo
e nos pede duas coisas no ponto
:
- Em que direção a taxa de variação da temperatura em
é máxima? - Qual é o valor dessa taxa máxima?
Informações relevantes: a funçãoestá definida para pares no plano e o ponto de interesse é .
Passo 2
Conceito essencial (explicado devagar, como num amigo): a taxa de variação de
na direção de um vetor unitário
em
é dada pela derivada direcional
Aqui:
-
é o vetor gradiente de em , composto pelas derivadas parciais de ; - o símbolo ``
’’ é o produto escalar entre vetores; -
deve ser um vetor unitário (ou seja, com comprimento ); se não for unitário, convém normalizá-lo antes.
Agora: como achar? Calculamos as derivadas parciais de .
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais usando regras básicas (regra do poder): para
,
Portanto o gradiente é
Passo 4
Avalie o gradiente no ponto
:
Esse vetor
aponta na direção do maior crescimento de
em
— mas vamos justificar isso de forma clara.
Passo 5
Justificativa do porquê o gradiente dá a direção de máximo aumento: para qualquer vetor unitário
vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz
porque
. A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
(mesma direção). Assim a derivada direcional é máxima quando
tem a direção do gradiente, e o valor máximo é
.
Passo 6
Calcule o comprimento (norma) do gradiente em
:
Logo a taxa máxima de variação é
(unidades de temperatura por unidade de comprimento).
Passo 7
Encontre a direção unitária correspondente (normalizando o gradiente): divida o vetor
pela sua norma
:
Verificação rápida: o produto escalar
, que confirma o valor máximo.
Resposta
Direção de máximo aumento:
Valor da taxa máxima de variação:
Valor da taxa máxima de variação: