[3] (2,0 pontos) Uma placa de metal está localizada no plano x y, e sua temperatura em um ponto ( x, y ) é dada por
T(x, y)=x^{2}+2 y^{2}
graus Celsius. Em que direçāo a taxa de variação da temperatura no ponto P=(3,2) é máxima? Qual é o valor dessa taxa máxima?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa placa pelo campo
T(x,y)=x^{2}+2y^{2}
e nos pede duas coisas no ponto \,P=(3,2)\,:
  1. Em que direção a taxa de variação da temperatura em P é máxima?
  2. Qual é o valor dessa taxa máxima?
    Informações relevantes: a função T está definida para pares (x,y) no plano xy e o ponto de interesse é \,P=(3,2)\,.

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar, como num amigo): a taxa de variação de T na direção de um vetor unitário \,u em P é dada pela derivada direcional
D_{u}T(P)=\nabla T(P)\cdot u.
Aqui:
  • \nabla T(P) é o vetor gradiente de T em P, composto pelas derivadas parciais de T;
  • o símbolo `` \cdot’’ é o produto escalar entre vetores;
  • u deve ser um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1); se não for unitário, convém normalizá-lo antes.
    Agora: como achar \nabla T? Calculamos as derivadas parciais de T.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais usando regras básicas (regra do poder): para T(x,y)=x^{2}+2y^{2},
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=4y.
Portanto o gradiente é
\nabla T(x,y)=\big(2x,\;4y\big).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto \,P=(3,2)\,:
\nabla T(3,2)=\big(2\cdot 3,\;4\cdot 2\big)=\big(6,\;8\big).
Esse vetor \,(6,8)\, aponta na direção do maior crescimento de T em P — mas vamos justificar isso de forma clara.

Passo 5

Justificativa do porquê o gradiente dá a direção de máximo aumento: para qualquer vetor unitário u vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz
\nabla T(P)\cdot u \le \|\nabla T(P)\|\,\|u\| = \|\nabla T(P)\|,
porque \|u\|=1. A igualdade ocorre exatamente quando u é paralelo a \nabla T(P) (mesma direção). Assim a derivada direcional é máxima quando u tem a direção do gradiente, e o valor máximo é \|\nabla T(P)\|.

Passo 6

Calcule o comprimento (norma) do gradiente em P:
\|\nabla T(3,2)\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
Logo a taxa máxima de variação é 10 (unidades de temperatura por unidade de comprimento).

Passo 7

Encontre a direção unitária correspondente (normalizando o gradiente): divida o vetor (6,8) pela sua norma 10:
u_{\text{máx}}=\frac{1}{10}(6,8)=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).á
Verificação rápida: o produto escalar \nabla T(3,2)\cdot u_{\text{máx}}=(6,8)\cdot\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{18+32}{5}=10á, que confirma o valor máximo.

Resposta

Direção de máximo aumento: \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)
Valor da taxa máxima de variação: 10\\ \text{(graus Celsius por unidade de comprimento)}

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