[2] Uma fábrica produz caixas retangulares abertas no topo. O custo do material para a base é de 10 \mathrm{R} \$\(por metro quadrado, e o custo do material para os lados é de\)5 \mathrm{R} \$ por metro quadrado. As dimensões planejadas para uma caixa são um comprimento de 2 metros e uma largura de 1,5 metros, com uma altura fixa de 1 metro. Devido a pequenas imprecisões no processo de corte, o comprimento da base acaba sendo 2,05 metros e a largura 1,45 metros. (a) ( 2,0 pontos) Use o diferencial total para estimar a variação no custo total do material devido às imprecisões no comprimento e na largura da base. (b) ( 2,0 pontos) Calcule o custo real do material com as dimensões imprecisas e compare-o com o custo estimado usando o diferencial total.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Estimar, usando o diferencial total, a variação no custo total do material quando o comprimento e a largura da base sofrem pequenas imprecisões.
(b) Calcular o custo real com as dimensões imprecisas e comparar com a estimativa do diferencial total.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{custo da base por m}^2 = 10\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{m}^2
\text{custo dos lados por m}^2 = 5\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{m}^2
Dimensões planejadas:
L_0=2{,}00\\ \mathrm{m},\quad W_0=1{,}50\\ \mathrm{m},\quad h=1{,}00\\ \mathrm{m}\\ (\text{altura fixa})
Dimensões reais (imprecisas):
L=2{,}05\\ \mathrm{m},\quad W=1{,}45\\ \mathrm{m}
Variações:
\Delta L = L-L_0 = 0{,}05\\ \mathrm{m},\quad \Delta W = W-W_0 = -0{,}05\\ \mathrm{m}

Passo 2

Montar a expressão do custo total C(L,W) da caixa aberta (sem tampa).
  • Área da base: A_{\text{base}} = L\cdot W. Custo da base:
\text{custo}_{\text{base}} = 10\cdot L W.
  • Áreas dos quatro lados: duas faces L\times h e duas faces W\times h. Soma das áreas dos lados:
A_{\text{lados}} = 2(Lh)+2(Wh)=2h(L+W).
Custo dos lados (preço 5 por m ^2):
\text{custo}_{\text{lados}} = 5\cdot 2h(L+W) = 10h(L+W).
Logo o custo total é
C(L,W)=10LW+10h(L+W).
Como h=1, simplifica para
C(L,W)=10LW+10(L+W).
Agora a ideia do diferencial total: para pequenas variações \Delta L,\Delta W a variação do custo \Delta C é aproximada pelo diferencial
dC \approx C_L\,dL + C_W\,dW,
onde C_L=\frac{\partial C}{\partial L} e C_W=\frac{\partial C}{\partial W} são derivadas parciais (cada uma mede a taxa de variação do custo quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa).
Calcule as derivadas parciais:
C_L = \frac{\partial}{\partial L}(10LW+10(L+W)) = 10W + 10,
C_W = \frac{\partial}{\partial W}(10LW+10(L+W)) = 10L + 10.

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto planejado (L_0,W_0)=(2{,}00,\,1{,}50):
C_L(L_0,W_0)=10\cdot 1{,}50 + 10 = 15 + 10 = 25,
C_W(L_0,W_0)=10\cdot 2{,}00 + 10 = 20 + 10 = 30.
Usando dL=\Delta L=0{,}05 e dW=\Delta W=-0{,}05, a estimativa pelo diferencial é
dC \approx C_L\,dL + C_W\,dW = 25\cdot 0{,}05 + 30\cdot(-0{,}05).
Calcule:
25\cdot 0{,}05 = 1{,}25,\qquad 30\cdot 0{,}05 = 1{,}50,
portanto
dC \approx 1{,}25 - 1{,}50 = -0{,}25\\ \mathrm{R}\$.
Interpretação: pela aproximação linear, o custo total diminui cerca de 0{,}25\\ \mathrm{R}\$ devido às imprecisões (o aumento no comprimento aumenta o custo, mas a diminuição da largura reduz mais o custo).

Passo 4

Calcular o custo real com as dimensões imprecisas usando a fórmula exata C(L,W)=10LW+10(L+W).
Primeiro o custo planejado (para referência):
C(L_0,W_0)=10\cdot 2{,}00\cdot 1{,}50 + 10(2{,}00+1{,}50)=10\cdot 3{,}00 + 10\cdot 3{,}50 = 30 + 35 = 65{,}00\\ \mathrm{R}\$.
Agora com L=2{,}05 e W=1{,}45:
LW = 2{,}05\cdot 1{,}45 = 2{,}9725,
10LW = 10\cdot 2{,}9725 = 29{,}725,
10(L+W)=10(2{,}05+1{,}45)=10\cdot 3{,}50 = 35{,}00.
Somando,
C(L,W)=29{,}725 + 35{,}00 = 64{,}725\\ \mathrm{R}\%.
A variação real do custo é
\Delta C = C(L,W)-C(L_0,W_0)=64{,}725 - 65{,}00 = -0{,}275\\ \mathrm{R}\$.
Comparação com a estimativa linear:
dC = -0{,}25\\ \mathrm{R}\$, \qquad \Delta C = -0{,}275\\ \mathrm{R}\$,
diferença (erro da aproximação linear):
\Delta C - dC = -0{,}275 - (-0{,}25) = -0{,}025\\ \mathrm{R}\$.
Ou seja, a estimativa pelo diferencial ficou a 0{,}025\\ \mathrm{R}\$ do valor real — um erro muito pequeno, o que é esperado porque as variações são pequenas e a aproximação linear funciona bem.

Passo 5

Resumo final e interpretação amigável: o diferencial deu uma boa aproximação (redução de 0{,}25\\ \mathrm{R}\$), o custo real diminuiu 0{,}275\\ \mathrm{R}\$; a diferença entre estimativa e valor exato é só 0{,}025\\ \mathrm{R}\$, portanto a técnica de diferencial total foi eficaz para estas pequenas imprecisões.

Resposta

(a) A variação estimada pelo diferencial total é -0{,}25\\ \mathrm{R}\$.
(b) O custo real com as dimensões imprecisas é 64{,}725\\ \mathrm{R}\$. A variação real é -0{,}275\\ \mathrm{R}\$, sendo a estimativa linear -0{,}25\\ \mathrm{R}\$ (erro de 0{,}025\\ \mathrm{R}\$).

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