[2] Uma fábrica produz caixas retangulares abertas no topo. O custo do material para a base é de
por metro quadrado. As dimensões planejadas para uma caixa são um comprimento de 2 metros e uma largura de 1,5 metros, com uma altura fixa de 1 metro. Devido a pequenas imprecisões no processo de corte, o comprimento da base acaba sendo 2,05 metros e a largura 1,45 metros. (a) ( 2,0 pontos) Use o diferencial total para estimar a variação no custo total do material devido às imprecisões no comprimento e na largura da base. (b) ( 2,0 pontos) Calcule o custo real do material com as dimensões imprecisas e compare-o com o custo estimado usando o diferencial total.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Estimar, usando o diferencial total, a variação no custo total do material quando o comprimento e a largura da base sofrem pequenas imprecisões.
(b) Calcular o custo real com as dimensões imprecisas e comparar com a estimativa do diferencial total.
(a) Estimar, usando o diferencial total, a variação no custo total do material quando o comprimento e a largura da base sofrem pequenas imprecisões.
(b) Calcular o custo real com as dimensões imprecisas e comparar com a estimativa do diferencial total.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dimensões planejadas:
Dimensões reais (imprecisas):
Variações:
Passo 2
Montar a expressão do custo total
da caixa aberta (sem tampa).
- Área da base:
. Custo da base:
- Áreas dos quatro lados: duas faces
e duas faces . Soma das áreas dos lados:
Custo dos lados (preço
por m
):
Logo o custo total é
Como
, simplifica para
Agora a ideia do diferencial total: para pequenas variações
a variação do custo
é aproximada pelo diferencial
onde
e
são derivadas parciais (cada uma mede a taxa de variação do custo quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa).
Calcule as derivadas parciais:
Passo 3
Avaliar as derivadas no ponto planejado
:
Usando
e
, a estimativa pelo diferencial é
Calcule:
portanto
Interpretação: pela aproximação linear, o custo total diminui cerca de
devido às imprecisões (o aumento no comprimento aumenta o custo, mas a diminuição da largura reduz mais o custo).
Passo 4
Calcular o custo real com as dimensões imprecisas usando a fórmula exata
.
Primeiro o custo planejado (para referência):
Agora com
e
:
Somando,
A variação real do custo é
Comparação com a estimativa linear:
diferença (erro da aproximação linear):
Ou seja, a estimativa pelo diferencial ficou a
do valor real — um erro muito pequeno, o que é esperado porque as variações são pequenas e a aproximação linear funciona bem.
Passo 5
Resumo final e interpretação amigável: o diferencial deu uma boa aproximação (redução de
), o custo real diminuiu
; a diferença entre estimativa e valor exato é só
, portanto a técnica de diferencial total foi eficaz para estas pequenas imprecisões.
Resposta
(a) A variação estimada pelo diferencial total é
.
(b) O custo real com as dimensões imprecisas é . A variação real é
, sendo a estimativa linear
(erro de
).
(b) O custo real com as dimensões imprecisas é