Questão 1. (Vale 1.5). Mostre que a equação
admite pelo menos uma raiz entre
. Lembre-se:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
admite pelo menos uma raiz no intervalo
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O intervalo a considerar é
. - A equação é
. - Foi lembrado que
para todo .
Passo 2
Definimos a função
Vou explicar por que
é contínua em
, passo a passo: a função
é contínua em
(é a raiz quadrada, bem definida e sem descontinuidade no intervalo). A função
é contínua em todo
. Soma e multiplicação por constantes preservam continuidade. Logo, sendo
contínua e
contínua, a soma
é contínua em
. Isso é importante porque vamos usar um teorema que exige continuidade.
Passo 3
Calculamos o valor de
em
. Sabemos que
, portanto
Concluímos que
.
Passo 4
Agora avaliamos (ou ao menos colocamos uma desigualdade para)
. Usando a desigualdade fornecida
, temos em particular
. Então
Assim
. Portanto
é positivo.
Passo 5
Aqui entra o raciocínio crucial: pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI) — que diz que se uma função é contínua num intervalo
e assume valores de sinais opostos em
e
, então ela assume o valor
em algum ponto interior
— podemos aplicar ao nosso caso. Já mostramos que
é contínua em
, que
e que
. Portanto os sinais em 0 e 1 são opostos.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto
tal que
Isso provou que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo
.