Questão 1. (Vale 1.5). Mostre que a equação 5 \sqrt{x}-\cos (x)=0 admite pelo menos uma raiz entre [0,1]. Lembre-se: -1 \leq \cos (x) \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação 5\sqrt{x}-\cos(x)=0 admite pelo menos uma raiz no intervalo [0,1]. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O intervalo a considerar é [0,1].
  • A equação é 5\sqrt{x}-\cos(x)=0.
  • Foi lembrado que -1 \leq \cos(x) \leq 1 para todo x.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=5\sqrt{x}-\cos(x).
Vou explicar por que f é contínua em [0,1], passo a passo: a função x\mapsto \sqrt{x} é contínua em [0,1] (é a raiz quadrada, bem definida e sem descontinuidade no intervalo). A função x\mapsto \cos(x) é contínua em todo \mathbb{R}. Soma e multiplicação por constantes preservam continuidade. Logo, sendo 5\sqrt{x} contínua e -\cos(x) contínua, a soma f(x)=5\sqrt{x}-\cos(x) é contínua em [0,1]. Isso é importante porque vamos usar um teorema que exige continuidade.

Passo 3

Calculamos o valor de f em x=0. Sabemos que \cos(0)=1, portanto
f(0)=5\sqrt{0}-\cos(0)=0-1=-1.
Concluímos que f(0)=-1<0.

Passo 4

Agora avaliamos (ou ao menos colocamos uma desigualdade para) f(1). Usando a desigualdade fornecida -1\le \cos(1)\le 1, temos em particular \cos(1)\le 1. Então
f(1)=5\sqrt{1}-\cos(1)=5-\cos(1)\ge 5-1=4.
Assim f(1)\ge 4>0. Portanto f(1) é positivo.

Passo 5

Aqui entra o raciocínio crucial: pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI) — que diz que se uma função é contínua num intervalo [a,b] e assume valores de sinais opostos em a e b, então ela assume o valor 0 em algum ponto interior c\in(a,b) — podemos aplicar ao nosso caso. Já mostramos que f é contínua em [0,1], que f(0)=-1<0 e que f(1)\ge 4>0. Portanto os sinais em 0 e 1 são opostos.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=5\sqrt{c}-\cos\text{(c)}=0.
Isso provou que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo [0,1].

Resposta

\exists\, c\in[0,1] tal que 5\sqrt{c}-\cos\text{(c)}=0.

Exercícios relacionados