Se \int_{0}^{9} f(x) d x=37 \mathrm{e} \int_{0}^{9} g(x) d x=16, encontre \int_{0}^{9}[2 f(x)+3 g(x)] d x.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre integrais definidas no mesmo intervalo [0,9] e pede a integral de uma combinação linear das duas funções. Informações dadas:
\int_{0}^{9} f(x)\,dx = 37
\int_{0}^{9} g(x)\,dx = 16
Pergunta: calcular
\int_{0}^{9} [2f(x) + 3g(x)]\,dx.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental das integrais definidas: a linearidade. Ela diz que, para quaisquer constantes reais \alpha e \beta e funções integráveis f e g no mesmo intervalo [a,b],
\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx.
Aqui \alpha e \beta são números (constantes), f(x) e g(x) são as funções que estamos integrando, a e b são os limites do intervalo. Essa propriedade significa que podemos “puxar para fora” constantes e separar a soma em somas de integrais.

Passo 3

Por que essa propriedade vale (intuição rápida e prática para a prova)?
Intuitivamente, a integral definida é a soma (no sentido de limite) de pequenas áreas f(x)\,\Delta x. Se cada área for multiplicada por \alpha, a soma inteira é multiplicada por \alpha. Se temos soma de duas funções, a área total é a soma das áreas de cada função. Formalmente isso vem da linearidade da soma e do limite nas somas de Riemann, mas na prova não é necessário rederivar — basta conhecer e aplicar a propriedade acima.

Passo 4

Aplicando a propriedade de linearidade ao nosso caso com \alpha=2, \beta=3, a=0 e b=9, obtemos:
\int_{0}^{9} [2f(x) + 3g(x)]\,dx = 2\int_{0}^{9} f(x)\,dx + 3\int_{0}^{9} g(x)\,dx.
Aqui eu apenas substituí os coeficientes e dividi a integral conforme a propriedade explicada.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos no enunciado:
2\int_{0}^{9} f(x)\,dx + 3\int_{0}^{9} g(x)\,dx = 2\cdot 37 + 3\cdot 16.

Passo 6

Calculemos as multiplicações e a soma, passo a passo:
2\cdot 37 = 74,
3\cdot 16 = 48,
74 + 48 = 122.

Resposta

122

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