Se
, encontre
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre integrais definidas no mesmo intervalo
e pede a integral de uma combinação linear das duas funções. Informações dadas:
Pergunta: calcular
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental das integrais definidas: a linearidade. Ela diz que, para quaisquer constantes reais
e
e funções integráveis
e
no mesmo intervalo
,
Aqui
e
são números (constantes),
e
são as funções que estamos integrando,
e
são os limites do intervalo. Essa propriedade significa que podemos “puxar para fora” constantes e separar a soma em somas de integrais.
Passo 3
Por que essa propriedade vale (intuição rápida e prática para a prova)?
Intuitivamente, a integral definida é a soma (no sentido de limite) de pequenas áreas . Se cada área for multiplicada por
, a soma inteira é multiplicada por
. Se temos soma de duas funções, a área total é a soma das áreas de cada função. Formalmente isso vem da linearidade da soma e do limite nas somas de Riemann, mas na prova não é necessário rederivar — basta conhecer e aplicar a propriedade acima.
Intuitivamente, a integral definida é a soma (no sentido de limite) de pequenas áreas
Passo 4
Aplicando a propriedade de linearidade ao nosso caso com
,
,
e
, obtemos:
Aqui eu apenas substituí os coeficientes e dividi a integral conforme a propriedade explicada.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos no enunciado:
Passo 6
Calculemos as multiplicações e a soma, passo a passo: