[2] Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
22310131415151616
18182021222223242525
26272929303236424445
45464852585961616165
66666875788089909297
(a) Use cinco intervalos e construa uma tabela de frequência, a frequência relativa e a porcentagem.
(b) Determine uma medida de posição central e uma medida de dispersão.

Passo 1

O enunciado pede para, com uma amostra de tamanho N=50 dos números de casas por quarteirão, construir uma tabela de frequência com cinco classes, calculando a frequência absoluta f_i, a frequência relativa f_i/N e a porcentagem; em seguida, determinar uma medida de posição central e uma medida de dispersão. Vamos usar conceitos de estatística descritiva: amplitude, número de classes, largura de classe, contagem de dados em cada classe, média aritmética e desvio-padrão amostral.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor mínimo e máximo:
\min x_i = 2,\quad \max x_i = 97,\quad \text{amplitude} = 97 - 2 = 95.
Como queremos k=5 classes, a largura aproximada é
h = \frac{95}{5} = 19.
Definimos então as classes consecutivas cobrindo todo o intervalo:
[2,20],\quad [21,39],\quad [40,58],\quad [59,77],\quad [78,97].

Passo 3

Agora contamos quantos x_i caem em cada classe e calculamos f_i/N e a porcentagem:
  • Classe [2,20]: f_1=13, \;f_1/N = 13/50 = 0{,}26, \;26\%.
  • Classe [21,39]: f_2=14, \;f_2/N = 14/50 = 0{,}28, \;28\%.
  • Classe [40,58]: f_3=8, \;f_3/N = 8/50 = 0{,}16, \;16\%.
  • Classe [59,77]: f_4=9, \;f_4/N = 9/50 = 0{,}18, \;18\%.
  • Classe [78,97]: f_5=6, \;f_5/N = 6/50 = 0{,}12, \;12\%.
Confirmação: 13+14+8+9+6=50.

Passo 4

Para a medida de posição central usamos a média aritmética:
\bar x = \frac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} x_i = \frac{2021}{50} = 40{,}42.

Passo 5

Para a medida de dispersão calculamos o desvio-padrão amostral:
s = \sqrt{\frac{\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{N}}{N-1}} = \sqrt{\frac{115009 - \frac{2021^2}{50}}{49}} \approx 26{,}07.

Resposta

(a) Tabela de frequência com cinco classes:
Classe [2,20]: f_i=13, f_i/N=0{,}26, 26\%
Classe [21,39]: f_i=14, f_i/N=0{,}28, 28\%
Classe [40,58]: f_i=8, f_i/N=0{,}16, 16\%
Classe [59,77]: f_i=9, f_i/N=0{,}18, 18\%
Classe [78,97]: f_i=6, f_i/N=0{,}12, 12\%
(b) Média aritmética \bar x = 40{,}42 e desvio-padrão amostral s \approx 26{,}07.

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