[2,5 \mathrm{pts}] O campo elétrico em certa região do espaço tem componentes E_{y}=E_{z}=0 e E_{x}=5,00 N/C. O ponto A está no eixo y, em y=4,00 \mathrm{~m}, enquanto o ponto B está em no eixo x, em x=3,00 m . Determine a diferença de potencial entre os pontos B e A , ou seja, V_{B}-V_{A}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a diferença de potencial entre os pontos B e A, ou seja V_{B}-V_{A}.\n
Informações dadas:
E_{y}=0,\qquad E_{z}=0,\qquad E_{x}=5{,}00\\ \mathrm{N/C}.
O ponto A está no eixo y em y=4{,}00\\ \mathrm{m}, portanto suas coordenadas são (0,\,4{,}00,\,0). O ponto B está no eixo x em x=3{,}00\\ \mathrm{m}, portanto suas coordenadas são (3{,}00,\,0,\,0).\n
A pergunta específica: calcular V_{B}-V_{A}.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar (explico o que cada coisa é):
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Aqui:
  • V(\mathbf{r}) é o potencial elétrico no ponto de posição \mathbf{r} (unidade: volt, \mathrm{V}).\n
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (unidade: \mathrm{N/C}, que é igual a \mathrm{V/m}).\n
  • d\mathbf{l} é o deslocamento infinitesimal ao longo do caminho da integração (unidade: \mathrm{m}).\n
  • O produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} tem unidades \mathrm{N/C}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J/C}=\mathrm{V}, então a integral dá volts.\n
    Explicação intuitiva: a diferença de potencial entre dois pontos é (com sinal negativo) a integral do campo elétrico ao longo de um caminho que liga os pontos. Para campos eletrostáticos conservativos essa diferença independe do caminho.

Passo 3

Escrevemos o campo e o diferencial de deslocamento em componentes:
\mathbf{E} = E_x\hat{\mathbf{i}} + 0\hat{\mathbf{j}} + 0\hat{\mathbf{k}}, \qquad d\mathbf{l}=dx\,\hat{\mathbf{i}}+dy\,\hat{\mathbf{j}}+dz\,\hat{\mathbf{k}}.
O produto escalar fica
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = E_x\,dx + 0\cdot dy + 0\cdot dz = E_x\,dx.
Portanto a integral para V_{B}-V_{A} reduz-se a integrar apenas sobre x:
V_{B}-V_{A} = -\int_{\mathbf{r}_A}^{\mathbf{r}_B} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\int_{(\text{trajeto})} E_x\,dx.
Como o integrando depende só de dx e o campo é uniforme, podemos escolher um caminho que primeiro vá de A até (0,0,0) (varia y mas aí E_y=0 e não contribui) e depois de (0,0,0) até B (varia x de 0 a 3{,}00). Assim a única contribuição é a variação de x de x_A=0 até x_B=3{,}00.

Passo 4

Aplicando a integral com os limites em x:
V_{B}-V_{A} = -\int_{x_A}^{x_B} E_x\,dx = -E_x\,(x_B-x_A).
Substituindo E_x=5{,}00\\ \mathrm{N/C}, x_A=0 e x_B=3{,}00\\ \mathrm{m}:
V_{B}-V_{A} = -5{,}00\cdot(3{,}00-0)\\ \mathrm{V} = -15{,}0\\ \mathrm{V}.
Nota sobre algarismos significativos: os dados tinham três algarismos significativos ( 5{,}00, 3{,}00, 4{,}00), por isso apresentei o resultado como -15{,}0\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação do sinal: V_{B}-V_{A}=-15{,}0\\ \mathrm{V} significa que o potencial em B é 15{,}0\\ \mathrm{V} menor do que o potencial em A. Isso faz sentido porque o campo aponta na direção +x e, ao mover-se no sentido de +x, o potencial decresce.

Resposta

-15{,}0\\ \mathrm{V}

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