Em cristalografia, o fator de empacotamento atômico (FEA) é a fração do volume em um cristal que é ocupado pelos átomos constituintes. É uma quantidade adimensional sempre menor que a unidade. Em sistemas atômicos é, geralmente, assumido que os átomos são esferas rígidas que se tocam. Assim,
E F A=\frac{N_{\text {ato }} V_{\text {ato }}}{V_{\text {cel }}}
onde N_{ato} é o número de átomos na célula unitária, V_{ato} é o volume de cada átomo e V_{\text {cel }} é o volume da célula unitária.
A massa específica do cobre é 8,96 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, a massa molar é 63,55 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e o raio atômico é 1,28 \AA. É mais provável que um cristal de cobre seja FCC ou BCC ?

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se um cristal de cobre é mais provavelmente FCC ou BCC. Dados fornecidos:
  • massa específica (densidade) do cobre: \rho_{\text{exp}}=8,96\\ \mathrm{g/cm^{3}},
  • massa molar: M=63,55\\ \mathrm{g/mol},
  • raio atômico: r=1,28\\ \text{\AA}.
    Observação sobre unidades: 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}. Não há outras informações faltando no enunciado.

Passo 2

Estratégia (o que vou calcular): para cada estrutura cristalina (FCC e BCC) calculo a densidade teórica \rho_{\text{teo}} da seguinte forma:
\rho=\frac{N\;M}{N_A\;a^{3}},
onde:
  • N é o número de átomos por célula unitária ( N_{\text{FCC}}=4, N_{\text{BCC}}=2),
  • M é a massa molar (em \mathrm{g/mol}),
  • N_A é o número de Avogadro \left(N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}\right),
  • a é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica) em \mathrm{cm}.
    Vou relacionar a com o raio atômico r usando geometria da célula:
  • FCC: os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, logo \;4r=a\sqrt{2}\;\Rightarrow\;a=2\sqrt{2}\,r.
  • BCC: os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo, logo \;4r=a\sqrt{3}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}.
    Primeiro converto r para centímetros:
r=1,28\\ \text{\AA}=1,28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Cálculo de a para FCC. Usando \;a=2\sqrt{2}\,r:
a_{\text{FCC}}=2\sqrt{2}\;r=2\sqrt{2}\left(1,28\times10^{-8}\right)\\ \mathrm{cm}.
Numérico: \sqrt{2}\approx1,41421356, então
a_{\text{FCC}}\approx 2\times1,41421356\times1,28\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\approx 3,620\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Volume da célula unitária FCC:
V_{\text{cel,FCC}}=a_{\text{FCC}}^{3}\approx\left(3,620\times10^{-8}\right)^{3}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Cálculo numérico:
V_{\text{cel,FCC}}\approx 4,746\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 5

Massa por célula unitária (FCC). Fórmula:
m_{\text{cel}}=\frac{N\;M}{N_A}.
Para FCC, N=4, então
m_{\text{cel,FCC}}=\frac{4\times63,55}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx 4,222\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
Explicação didática: multiplicamos o número de átomos na célula pela massa de um mol (massa molar) e dividimos por N_A para converter mols em número de átomos e obter a massa em gramas.

Passo 6

Densidade teórica FCC:
\rho_{\text{FCC}}=\frac{m_{\text{cel,FCC}}}{V_{\text{cel,FCC}}} =\frac{4,222\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{4,746\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}} \approx 8,90\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Comentário: esse valor é muito próximo da densidade experimental \rho_{\text{exp}}=8,96\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 7

Cálculo de a para BCC. Usando \;a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}:
a_{\text{BCC}}=\frac{4\times1,28\times10^{-8}}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{cm}.
Numérico: \sqrt{3}\approx1,7320508, então
a_{\text{BCC}}\approx 2,956\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Volume da célula unitária BCC:
V_{\text{cel,BCC}}=a_{\text{BCC}}^{3}\approx\left(2,956\times10^{-8}\right)^{3}\\ \mathrm{cm^{3}} \approx 2,584\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 9

Massa por célula unitária (BCC). Para BCC, N=2, então
m_{\text{cel,BCC}}=\frac{2\times63,55}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx 2,111\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 10

Densidade teórica BCC:
\rho_{\text{BCC}}=\frac{m_{\text{cel,BCC}}}{V_{\text{cel,BCC}}} =\frac{2,111\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{2,584\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}} \approx 8,17\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Comentário: esse valor está mais distante da densidade experimental 8,96\\ \mathrm{g/cm^{3}} do que o valor FCC.

Passo 11

Conclusão e interpretação didática: comparamos as densidades teóricas com a experimental:
  • \rho_{\text{FCC}}\approx 8,90\\ \mathrm{g/cm^{3}} (muito próximo de 8,96),
  • \rho_{\text{BCC}}\approx 8,17\\ \mathrm{g/cm^{3}} (mais distante de 8,96).
    Portanto a estrutura cujo cálculo coincide melhor com a densidade medida é a FCC. Além disso, sabe-se que FCC tem fator de empacotamento atômico maior (aprox. 0,74) que BCC (aprox. 0,68), o que também é consistente com metais densos como o cobre preferirem FCC.

Resposta

FCC

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