Em cristalografia, o fator de empacotamento atômico (FEA) é a fração do volume em um cristal que é ocupado pelos átomos constituintes. É uma quantidade adimensional sempre menor que a unidade. Em sistemas atômicos é, geralmente, assumido que os átomos são esferas rígidas que se tocam. Assim,
onde
é o número de átomos na célula unitária,
é o volume de cada átomo e
é o volume da célula unitária.
A massa específica do cobre é
, a massa molar é
e o raio atômico é
. É mais provável que um cristal de cobre seja FCC ou BCC ?
A massa específica do cobre é
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se um cristal de cobre é mais provavelmente FCC ou BCC. Dados fornecidos:
- massa específica (densidade) do cobre:
, - massa molar:
, - raio atômico:
.
Observação sobre unidades:. Não há outras informações faltando no enunciado.
Passo 2
Estratégia (o que vou calcular): para cada estrutura cristalina (FCC e BCC) calculo a densidade teórica
da seguinte forma:
onde:
-
é o número de átomos por célula unitária ( , ), -
é a massa molar (em ), -
é o número de Avogadro , -
é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica) em .
Vou relacionarcom o raio atômico usando geometria da célula: - FCC: os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, logo
. - BCC: os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo, logo
.
Primeiro convertopara centímetros:
Passo 3
Cálculo de
para FCC. Usando
:
Numérico:
, então
Passo 4
Volume da célula unitária FCC:
Cálculo numérico:
Passo 5
Massa por célula unitária (FCC). Fórmula:
Para FCC,
, então
Explicação didática: multiplicamos o número de átomos na célula pela massa de um mol (massa molar) e dividimos por
para converter mols em número de átomos e obter a massa em gramas.
Passo 6
Densidade teórica FCC:
Comentário: esse valor é muito próximo da densidade experimental
.
Passo 7
Cálculo de
para BCC. Usando
:
Numérico:
, então
Passo 8
Volume da célula unitária BCC:
Passo 9
Massa por célula unitária (BCC). Para BCC,
, então
Passo 10
Densidade teórica BCC:
Comentário: esse valor está mais distante da densidade experimental
do que o valor FCC.
Passo 11
Conclusão e interpretação didática: comparamos as densidades teóricas com a experimental:
-
(muito próximo de ), -
(mais distante de ).
Portanto a estrutura cujo cálculo coincide melhor com a densidade medida é a FCC. Além disso, sabe-se que FCC tem fator de empacotamento atômico maior (aprox.) que BCC (aprox. ), o que também é consistente com metais densos como o cobre preferirem FCC.
Resposta
FCC