Q. 1- Uma amostra de gás ideal encontra-se, inicialmente, uma temperatura de 325 K e pressâo de 1,00 \mathrm{~atm}. O volume dessa amostra de gás é reduzido de 271 L para 71,2 \mathrm{~L} e sua pressão é elevada para 5,94 \mathrm{~atm}. (a) O gás é monoatómico, diatómico ou poliatómico? (b) Determine a temperatura final. (c) Quantos mols do gás existe na amostra? ( 1.8 pt )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as perguntas abaixo:
  • Temperatura inicial: T_i=325\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: P_i=1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Volume inicial: V_i=271\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_f=71{,}2\\ \mathrm{L}.
  • Pressão final: P_f=5{,}94\\ \mathrm{atm}.
Perguntas:
(a) O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico?
(b) Determine a temperatura final T_f.
(c) Quantos mols do gás existem na amostra?

Passo 2

Decidindo o método: para responder (a) precisamos obter a razão adiabática \gamma (que relaciona capacidades caloríficas) porque \gamma permite inferir o número de graus de liberdade e, por consequência, se o gás é mono-, di- ou poliatômico. A única relação que nos permite calcular \gamma diretamente a partir de mudanças de P e V é a relação de um processo adiabático reversível:
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Portanto, vamos assumir que o processo é adiabático e reversível (situação típica em exercícios que pedem identificar \gamma a partir de P e V). Com essa hipótese podemos extrair \gamma dos dados e depois obter o tipo do gás. Vou explicar cada fórmula que uso no passo seguinte.

Passo 3

Explicando as fórmulas principais e como obter \gamma:
  • Para um gás ideal, em um processo adiabático reversível vale
P_i V_i^{\gamma}=P_f V_f^{\gamma}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados e isolando \gamma obtemos
\gamma=\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_f}{P_i}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)}.
Aqui \gamma é a razão entre as capacidades molares c_p e c_v: \gamma=c_p/c_v.
Agora calculo os argumentos com os números dados:
\frac{P_f}{P_i}=\frac{5{,}94}{1{,}00}=5{,}94, \qquad \frac{V_i}{V_f}=\frac{271}{71{,}2}\approx3{,}806.
Aplicando a fórmula:
\gamma=\frac{\ln(5{,}94)}{\ln(3{,}806)}\approx1{,}333.
Relação entre \gamma e os graus de liberdade f: para um gás ideal com f graus de liberdade (translação + rotações vibrações desprezadas), as capacidades molares são c_v=\tfrac{f}{2}R e c_p=c_v+R=\tfrac{f+2}{2}R, levando a
\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{f+2}{f}.
Isolando f:
f=\frac{2}{\gamma-1}.
Substituindo \gamma\approx1{,}333:
f=\frac{2}{1{,}333-1}=\frac{2}{0{,}333}\approx6.
Interpretação: f=6 corresponde a um gás poliatômico (por exemplo moléculas não lineares ou moléculas com modos de rotação adicionais), portanto a classificação é: poliatômico.

Passo 4

Determinar a temperatura final T_f.
Duas relações alternativas que dão T_f:
  1. A partir da condição de adiabático reversível também vale
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
logo
T_f=T_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Com \gamma-1\approx0{,}333 e \dfrac{V_i}{V_f}\approx3{,}806:
T_f=325\left(3{,}806\right)^{0{,}333}\approx507\\ \mathrm{K}.
  1. Checagem alternativa (sem assumir adiabático): a lei dos gases ideais para número de mols constante dá
\frac{P_i V_i}{T_i}=\frac{P_f V_f}{T_f}\quad\Rightarrow\quad T_f=T_i\frac{P_f V_f}{P_i V_i}.
Substituindo números:
T_f=325\cdot\frac{5{,}94\cdot71{,}2}{1{,}00\cdot271}=325\cdot\frac{422{,}928}{271}\approx325\cdot1{,}560\approx507\\ \mathrm{K}.
As duas formas concordam (boa checagem). Portanto T_f\approx507\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Determinar o número de mols n.
Usamos a equação de estado do gás ideal:
PV=nRT.
Isolando n:
n=\frac{P_i V_i}{R T_i}.
Escolho unidades compatíveis: P em \mathrm{atm}, V em \mathrm{L}, T em \mathrm{K} e R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}.
Substituindo:
n=\frac{1{,}00\cdot271}{0{,}082057\cdot325}=\frac{271}{26{,}6705}\approx10{,}16\\ \mathrm{mol}.
(Se preferir, pode usar o estado final e obter o mesmo resultado: n=P_f V_f/(R T_f).)

Resposta

(a) Poliatômico (graus de liberdade f=6).
(b) 507\\ \mathrm{K}.
(c) 10{,}16\\ \mathrm{mol}.

Exercícios relacionados