Uma esfera não-condutora com 5,0 \mathrm{~cm} de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de 3,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Determine o módulo do campo elétrico a distâncias de:
a) 2,5 \mathrm{~cm} do centro da esfera; a 10,0 \mathrm{~cm} do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico em duas distâncias do centro de uma esfera não-condutora com densidade volumétrica uniforme. Dados fornecidos:
\text{raio da esfera } R = 5{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}
\text{densidade volumétrica de carga } \rho = 3{,}0\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3 = 3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3é
As distâncias onde precisamos do campo são:
\text{(a) } r_1 = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}\quad(\text{dentro da esfera})
\text{(b) } r_2 = 10{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}\quad(\text{fora da esfera})
Pergunta: determinar o módulo de \mathbf{E} em r_1 e em r_2.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática, sem jargões demais): por simetria esférica o campo elétrico em torno de uma distribuição esférica uniforme aponta radialmente e tem o mesmo módulo em todos os pontos de uma mesma superfície esférica centrada na esfera. A ferramenta prática é a lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante \varepsilon_0. Em fórmula:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico;
  • d\mathbf{A} é elemento de área da superfície gaussiana;
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida na superfície fechada;
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo, \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
Para uma esfera gaussiana de raio r concentricamente colocada, \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre essa esfera, então o lado esquerdo vira E\cdot 4\pi r^2. Logo:
E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
O que muda entre estar dentro ( r<R) ou fora ( r\ge R) é o valor de Q_{\text{int}}: dentro só contamos a carga até o raio r; fora contamos toda a carga da esfera.

Passo 3

Campo dentro da esfera ( r<R). Primeiro calculamos a carga encerrada por uma esfera de raio r. Como a densidade volumétrica é uniforme:
Q_{\text{int}}=\rho\cdot \text{volume da esfera de raio } r=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
Substituindo na expressão de Gauss:
E=\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
Simplificando \frac{4\pi}{4\pi} e r^3/r^2=r, obtemos a fórmula muito útil (resultado padrão):
\boxed{E_{\text{dentro}}(r)=\frac{\rho\, r}{3\varepsilon_0}}\quad\text{para } r<R.
Interpretação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r. Aqui \rho é a densidade de carga (C/m^3), r é a distância ao centro (m) e \varepsilon_0 é a constante.

Passo 4

Aplicando para r_1=0{,}025\\ \mathrm{m}. Usando
E_{\text{dentro}}(r_1)=\frac{\rho\, r_1}{3\varepsilon_0},
vamos calcular passo a passo:
\rho\, r_1 = 3{,}0\times10^{-6}\times0{,}025 = 7{,}5\times10^{-8}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
3\varepsilon_0 = 3\times 8{,}854\times10^{-12} = 2{,}6562\times10^{-11}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
Dividindo:
E_{\text{dentro}}(0{,}025) = \frac{7{,}5\times10^{-8}}{2{,}6562\times10^{-11}}\\ \mathrm{V/m}\approx 2{,}824\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E_{\text{dentro}}(2{,}5\\ \mathrm{cm})\approx 2{,}82\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Campo fora da esfera ( r\ge R). Para r maior que o raio da esfera, a carga encerrada é a carga total da esfera:
Q_{\text{tot}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3.
Substituindo em Gauss:
E_{\text{fora}}(r)=\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2} =\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi\varepsilon_0 r^2} =\frac{\rho\,R^3}{3\varepsilon_0 r^2}.
Essa forma é prática porque cancela os \pi. Interpretando: fora da esfera o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro (decai como 1/r^2).

Passo 6

Aplicando para r_2=0{,}10\\ \mathrm{m} e R=0{,}05\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule R^3:
R^3=(0{,}05)^3=0{,}000125\\ \mathrm{m}^3.
Agora o numerador
\rho\, R^3 = 3{,}0\times10^{-6}\times 1{,}25\times10^{-4}=3{,}75\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Denominador 3\varepsilon_0 r_2^2:
r_2^2=(0{,}10)^2=0{,}01\\ \mathrm{m}^2,
3\varepsilon_0 r_2^2 = 3\times 8{,}854\times10^{-12}\times0{,}01 = 2{,}6562\times10^{-13}.
Dividindo:
E_{\text{fora}}(0{,}10)=\frac{3{,}75\times10^{-10}}{2{,}6562\times10^{-13}}\\ \mathrm{V/m}\approx 1{,}412\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E_{\text{fora}}(10{,}0\\ \mathrm{cm})\approx 1{,}41\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Comentário final rápido para te dar confiança: note que os valores fazem sentido com a física qualitativa: para r=2{,}5\\ \mathrm{cm} (metade do raio) o campo é maior que para r=10{,}0\\ \mathrm{cm}? Na verdade aqui o campo em 2{,}5\\ \mathrm{cm} é cerca do dobro do campo em 10{,}0\\ \mathrm{cm}. Isso ocorre porque dentro da esfera o campo cresce com r (linear) até r=R, alcançando um máximo em r=R; depois, para r>R, decai como 1/r^2. Se quiser, eu mostro também o valor em r=R para ver a continuidade (mas não pedi). Força aí — você já consegue aplicar a lei de Gauss nesses problemas!

Resposta

2{,}5\\ \mathrm{cm}:\\\ 2{,}82\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}\n
10{,}0\\ \mathrm{cm}:\\\ 1{,}41\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}

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