Uma esfera não-condutora com
de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de
. Determine o módulo do campo elétrico a distâncias de:
a)
do centro da esfera; a
do centro da esfera.
a)
Passo 1
O enunciado pede o módulo do campo elétrico em duas distâncias do centro de uma esfera não-condutora com densidade volumétrica uniforme. Dados fornecidos:
As distâncias onde precisamos do campo são:
Pergunta: determinar o módulo de
em
e em
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática, sem jargões demais): por simetria esférica o campo elétrico em torno de uma distribuição esférica uniforme aponta radialmente e tem o mesmo módulo em todos os pontos de uma mesma superfície esférica centrada na esfera. A ferramenta prática é a lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
. Em fórmula:
Aqui:
-
é o campo elétrico; -
é elemento de área da superfície gaussiana; -
é a carga total contida na superfície fechada; -
é a permissividade elétrica do vácuo, .
Para uma esfera gaussiana de raio
concentricamente colocada,
é radial e constante em módulo sobre essa esfera, então o lado esquerdo vira
. Logo:
O que muda entre estar dentro (
) ou fora (
) é o valor de
: dentro só contamos a carga até o raio
; fora contamos toda a carga da esfera.
Passo 3
Campo dentro da esfera (
). Primeiro calculamos a carga encerrada por uma esfera de raio
. Como a densidade volumétrica é uniforme:
Substituindo na expressão de Gauss:
Simplificando
e
, obtemos a fórmula muito útil (resultado padrão):
Interpretação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com
. Aqui
é a densidade de carga (C/m^3),
é a distância ao centro (m) e
é a constante.
Passo 4
Aplicando para
. Usando
vamos calcular passo a passo:
Dividindo:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 5
Campo fora da esfera (
). Para
maior que o raio da esfera, a carga encerrada é a carga total da esfera:
Substituindo em Gauss:
Essa forma é prática porque cancela os
. Interpretando: fora da esfera o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro (decai como
).
Passo 6
Aplicando para
e
. Primeiro calcule
:
Agora o numerador
Denominador
:
Dividindo:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Comentário final rápido para te dar confiança: note que os valores fazem sentido com a física qualitativa: para
(metade do raio) o campo é maior que para
? Na verdade aqui o campo em
é cerca do dobro do campo em
. Isso ocorre porque dentro da esfera o campo cresce com
(linear) até
, alcançando um máximo em
; depois, para
, decai como
. Se quiser, eu mostro também o valor em
para ver a continuidade (mas não pedi). Força aí — você já consegue aplicar a lei de Gauss nesses problemas!