O potencial elétrico no plano xy é dado por \mathrm{V}=2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}, em unidades SI. a) Em termos de vetores unitários, determine o campo elétrico no ponto dado pelas coordenadas x=3,0 \mathrm{mey}=2,0 \mathrm{~m}. b) Determine o módulo do campo elétrico nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no plano xy
V = 2x^{2} + 3y^{2},
em unidades SI. Pede:
a) o campo elétrico no ponto cujas coordenadas são x=3,0\\ \mathrm{m} e y=2,0\\ \mathrm{m}, escrito em termos de vetores unitários;
b) o módulo (valor absoluto) desse campo elétrico no mesmo ponto.

Passo 2

Qual é a relação entre potencial e campo elétrico? Vou explicar isso com calma. O campo elétrico \mathbf{E} é dado pelo gradiente negativo do potencial elétrico V. Em símbolos:
\mathbf{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla (lê-se “nabla”) é o operador gradiente, que devolve um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de V. Em coordenadas cartesianas bidimensionais:
\nabla = \hat{\mathbf{i}}\,\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{j}}\,\frac{\partial}{\partial y},
onde \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}} são os vetores unitários nas direções x e y. Explicando passo a passo: para obter \mathbf{E} você calcula as derivadas parciais \partial V/\partial x e \partial V/\partial y, forma o vetor gradiente e multiplica por -1.

Passo 3

Agora vou explicar como calcular derivadas parciais de forma bem explícita. Uma derivada parcial \partial V/\partial x significa: diferencie V em relação a x, tratando y como constante. Usamos a regra de potência: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Se há um coeficiente multiplicando, ele permanece (regra do fator constante).
Aplicando isso ao nosso V:
  • Para \partial V/\partial x: só o termo 2x^{2} depende de x. Derivando 2x^{2} em relação a x temos 2\cdot 2x = 4x. O termo 3y^{2} é tratado como constante e sua derivada em relação a x é zero. Logo
\frac{\partial V}{\partial x} = 4x.
  • Para \partial V/\partial y: só o termo 3y^{2} depende de y. Derivando 3y^{2} em relação a y temos 3\cdot 2y = 6y. O termo 2x^{2} é constante em relação a y e sua derivada é zero. Logo
\frac{\partial V}{\partial y} = 6y.

Passo 4

Formamos o gradiente com essas componentes e aplicamos o sinal negativo para obter o campo elétrico:
\nabla V = \hat{\mathbf{i}}\,4x + \hat{\mathbf{j}}\,6y,
portanto
\mathbf{E} = -\nabla V = -\big(4x\,\hat{\mathbf{i}} + 6y\,\hat{\mathbf{j}}\big).
Isso é uma expressão geral válida para qualquer ponto (x,y).

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão no ponto dado x=3,0\\ \mathrm{m} e y=2,0\\ \mathrm{m} (esses valores foram dados no enunciado). Substituindo:
4x = 4\cdot 3,0 = 12,
6y = 6\cdot 2,0 = 12.
Logo as componentes do campo são -12 na direção \hat{\mathbf{i}} e -12 na direção \hat{\mathbf{j}}. Em unidades SI (volts por metro) temos
\mathbf{E} = -12\,\hat{\mathbf{i}} - 12\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{V\,m^{-1}}).

Passo 6

Agora vamos calcular o módulo do vetor \mathbf{E}. Para um vetor com componentes E_x e E_y em duas dimensões, o módulo é dado por
|\mathbf{E}| = \sqrt{E_{x}^{2} + E_{y}^{2}}.
Aqui E_x = -12 e E_y = -12. Substituindo:
|\mathbf{E}| = \sqrt{(-12)^{2} + (-12)^{2}} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288}.
Simplificando \sqrt{288}: note que 288=144\cdot 2, então
\sqrt{288} = \sqrt{144\cdot 2} = 12\sqrt{2}.
Como número aproximado (útil na prova se pedirem valor numérico):
12\sqrt{2} \approx 12 \times 1,4142 \approx 16,97\quad(\mathrm{V\,m^{-1}}).

Resposta

\mathbf{E} = -12\,\hat{\mathbf{i}} - 12\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}
|\mathbf{E}| = 12\sqrt{2}\\ \mathrm{V\,m^{-1}} \approx 16,97\\ \mathrm{V\,m^{-1}}

Exercícios relacionados