O potencial elétrico no plano xy é dado por
, em unidades SI. a) Em termos de vetores unitários, determine o campo elétrico no ponto dado pelas coordenadas
. b) Determine o módulo do campo elétrico nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico no plano
em unidades SI. Pede:
a) o campo elétrico no ponto cujas coordenadas são e
, escrito em termos de vetores unitários;
b) o módulo (valor absoluto) desse campo elétrico no mesmo ponto.
a) o campo elétrico no ponto cujas coordenadas são
b) o módulo (valor absoluto) desse campo elétrico no mesmo ponto.
Passo 2
Qual é a relação entre potencial e campo elétrico? Vou explicar isso com calma. O campo elétrico
é dado pelo gradiente negativo do potencial elétrico
. Em símbolos:
Aqui
(lê-se “nabla”) é o operador gradiente, que devolve um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
. Em coordenadas cartesianas bidimensionais:
onde
e
são os vetores unitários nas direções
e
. Explicando passo a passo: para obter
você calcula as derivadas parciais
e
, forma o vetor gradiente e multiplica por
.
Passo 3
Agora vou explicar como calcular derivadas parciais de forma bem explícita. Uma derivada parcial
significa: diferencie
em relação a
, tratando
como constante. Usamos a regra de potência: se
então
. Se há um coeficiente multiplicando, ele permanece (regra do fator constante).
Aplicando isso ao nosso
:
- Para
: só o termo depende de . Derivando em relação a temos . O termo é tratado como constante e sua derivada em relação a é zero. Logo
- Para
: só o termo depende de . Derivando em relação a temos . O termo é constante em relação a e sua derivada é zero. Logo
Passo 4
Formamos o gradiente com essas componentes e aplicamos o sinal negativo para obter o campo elétrico:
portanto
Isso é uma expressão geral válida para qualquer ponto
.
Passo 5
Agora avaliamos essa expressão no ponto dado
e
(esses valores foram dados no enunciado). Substituindo:
Logo as componentes do campo são
na direção
e
na direção
. Em unidades SI (volts por metro) temos
Passo 6
Agora vamos calcular o módulo do vetor
. Para um vetor com componentes
e
em duas dimensões, o módulo é dado por
Aqui
e
. Substituindo:
Simplificando
: note que
, então
Como número aproximado (útil na prova se pedirem valor numérico):