[3, pag 48-4)] Seja o grupo dos inteiros com a operação de adição, o subgrupo constituído de todos os múltiplos de um inteiro fixo em . Determinar o índice de em e explicitar todas as classes laterais de em . O que é ?
Passo 1
O enunciado trata do grupo aditivo e do subgrupo
em que é um inteiro fixo. Precisamos encontrar:
O índice .
Todas as classes laterais de em .
A descrição de para inteiros fixos .
Passo 2
Para achar o índice lembramos que ele é o número de classes laterais de em . Mas o quociente é exatamente o conjunto das classes de resto módulo , que são elementos distintos (restos ). Logo
Passo 3
As classes laterais de Hn em Z são todas da forma
r + nZ com r = 0,1,2,dots,n-1
De fato cada inteiro a fica em exatamente uma delas, a classe cujo representante r é o resto de a na divisão por n.
Passo 4
O subgrupo Hncap Hm consiste em todos os inteiros que são simultaneamente múltiplos de n e de m. Esses são exatamente os múltiplos de lcm(n,m). Assim
Hncap Hm = ,kinZmid nmid k e mmid k = lcm(n,m),Z
Resposta
O índice de Hn em Z é [Z:Hn]=n.
As classes laterais são