[3, pag 48-4)] Seja G o grupo dos inteiros com a operação de adição, Hn o subgrupo constituído de todos os múltiplos de um inteiro fixo n em G. Determinar o índice de Hn em G e explicitar todas as classes laterais de Hn em G. O que é Hn cap Hm ?

Passo 1

O enunciado trata do grupo aditivo G = (Z,+) e do subgrupo
Hn = nZ = ,nk mid kinZ,,
em que n é um inteiro fixo. Precisamos encontrar:
  1. O índice [Z:Hn].
  2. Todas as classes laterais de Hn em Z.
  3. A descrição de Hncap Hm para inteiros fixos n,m.

Passo 2

Para achar o índice [Z:Hn] lembramos que ele é o número de classes laterais de Hn em Z. Mas o quociente Z/nZ é exatamente o conjunto das classes de resto módulo n, que são n elementos distintos (restos 0,1,dots,n-1). Logo
[Z:Hn] = l|Z/nZr| = n

Passo 3

As classes laterais de Hn em Z são todas da forma
r + nZ com r = 0,1,2,dots,n-1
De fato cada inteiro a fica em exatamente uma delas, a classe cujo representante r é o resto de a na divisão por n.

Passo 4

O subgrupo Hncap Hm consiste em todos os inteiros que são simultaneamente múltiplos de n e de m. Esses são exatamente os múltiplos de lcm(n,m). Assim
Hncap Hm = ,kinZmid nmid k e mmid k = lcm(n,m),Z

Resposta

O índice de Hn em Z é [Z:Hn]=n.
As classes laterais são
0 + nZ,;1 + nZ,;dots,;(n-1) + nZ
E
Hncap Hm = lcm(n,m),Z

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