[3, pag 48-7)] Seja a aplicação real taua b(x)=a x+b. Seja G=taua b: a neq 0. Demonstre que G é um grupo com relação à composição de aplicações. Deduza uma fórmula para taua b circ tauc d.

Passo 1

O enunciado define a aplicação real
taua b(x)=a,x+b
e o conjunto
G = taua b : aneq0
O objetivo é mostrar que G, com a operação de composição de funções, forma um grupo. Para isso precisamos verificar fechadura, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inverso. Além disso, vamos deduzir explicitamente uma fórmula para
taua bcirctauc d.

Passo 2

(Fechadura e fórmula da composição)
Se taua b e tauc d estão em G, então aneq0 e cneq0. Vamos compor as duas aplicações em x:
(taua bcirctauc d)(x) = taua bl(tauc d(x)r) = taua b(c,x + d) = a,(c,x + d) + b = (a,c),x + (a,d + b)
Como a,cneq0, concluímos que taua bcirctauc d = taua c,;a d + b pertence a G.

Passo 3

(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer taua b,tauc d,taue fin G vale
(taua bcirctauc d)circtaue f = taua bcirc(tauc dcirctaue f)
Não precisamos calcular de novo, pois é propriedade geral de composições.

Passo 4

(Elemento neutro)
Procuramos taueh tal que tauehcirctaua b = taua b e taua bcirctaueh = taua b. Basta tomar
tau1,0(x) = 1cdot x + 0 = x
De fato, tau1,0 é neutro para composição e pertence a G pois o coeficiente 1neq0.

Passo 5

(Inverso)
Dada taua bin G com aneq0, queremos tauu v tal que
tauu vcirctaua b = tau1,0. Usamos a fórmula da composição:
tauu vcirctaua b = tauu a,;u b + v
deve ser tau1,0, isto é
u,a = 1 e u,b + v = 0
Da primeira equação vem u = 1/a. Substituindo na segunda, v = -,b/a. Logo o inverso é
(taua b)^-1 = tau1/a,;-b/a,
que de fato está em G pois 1/aneq0.

Resposta

taua bcirctauc d = taua c,;a d + b

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