[3, pag 48-7)] Seja a aplicação real
. Seja
. Demonstre que
é um grupo com relação à composição de aplicações. Deduza uma fórmula para
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação real
e o conjunto
e o conjunto
O objetivo é mostrar que
, com a operação de composição de funções, forma um grupo. Para isso precisamos verificar fechadura, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inverso. Além disso, vamos deduzir explicitamente uma fórmula para
.
Passo 2
(Fechadura e fórmula da composição)
Se e
estão em
, então
e
. Vamos compor as duas aplicações em
:
Se
Como
, concluímos que
pertence a
.
Passo 3
(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer vale
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer
Não precisamos calcular de novo, pois é propriedade geral de composições.
Passo 4
(Elemento neutro)
Procuramos tal que
e
. Basta tomar
Procuramos
De fato,
é neutro para composição e pertence a
pois o coeficiente
.
Passo 5
(Inverso)
Dada com
, queremos
tal que
. Usamos a fórmula da composição:
Dada
deve ser
, isto é
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda,
. Logo o inverso é
que de fato está em
pois
.