[2] Uma partícula se move de tal forma que a sua distância ao eixo x é igual a sua distância ao plano z=3. Encontrar a equação da trajetória desta partícula.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) tais que a distância ao eixo x é igual à distância ao plano z=3. O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3 e vamos usar as fórmulas de distância ponto–reta e ponto–plano.

Passo 2

A distância de um ponto (x,y,z) ao eixo x (reta de equações y=0, z=0) é a distância ao ponto mais próximo na reta, dada por
d_{\text{eixo }x} = \sqrt{(y-0)^2 + (z-0)^2} = \sqrt{y^2 + z^2}.

Passo 3

A distância de (x,y,z) ao plano z=3 é
d_{\text{plano }z=3} = \frac{\bigl|z - 3\bigr|}{\sqrt{1}} = \bigl|z-3\bigr|.

Passo 4

Igualando as distâncias:
\sqrt{y^2 + z^2} \;=\;\bigl|z-3\bigr|.
Elevando ao quadrado, vem
y^2 + z^2 = (z-3)^2.

Passo 5

Expandindo o lado direito:
y^2 + z^2 = z^2 - 6z + 9 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 9 - 6z.
Isolando z:
z = \frac{9 - y^2}{6}.
Como não há restrição em x, ele é livre.

Resposta

A trajetória é o cilindro parabólico dado por
y^2 + 6z - 9 = 0,
com x\in\mathbb{R}.

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