[4] (2,0 pts)Identifique e esboce a cônica x^{2}+3 x y+y^{2}-10 x-10 y+5=0 no sistema de coordenadas x y.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
x^{2} + 3xy + y^{2} - 10x - 10y + 5 = 0
e pede que a identifiquemos e esbocemos no plano xy. Aqui o conteúdo é o estudo de cônicas gerais com termo misto xy. Vamos usar o discriminante para identificar o tipo, depois eliminar o termo misto por rotação de eixos, completar quadrados para obter a forma canônica, e finalmente transformar de volta para esboçar em x,y.
Passo 2
Calculamos o discriminante \Delta = B^{2} - 4AC, onde A=1, B=3 e C=1:
\Delta = 3^{2} - 4\cdot1\cdot1 = 9 - 4 = 5 > 0.
Como \Delta>0, trata-se de uma hipérbole.
Passo 3
Para eliminar o termo xy\), escolhemos um ângulo de rotação \(\theta\) tal que
\[\tan 2\theta = \frac{B}{A - C} = \frac{3}{1 - 1} = \infty \quad\Longrightarrow\quad 2\theta = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta = 45^\circ.
Definimos os novos eixos
\begin{cases} x = \dfrac{u - v}{\sqrt{2}},\\[6pt] y = \dfrac{u + v}{\sqrt{2}}. \end{cases}
que é a forma canônica de uma hipérbole com centro em ((u_{0},v_{0})=(2\sqrt{2},0)].]
Passo 4
Voltando ao sistema x,y\), encontramos o centro \((x_{0},y_{0})\) resolvendo
\[\begin{cases} u_{0} = \dfrac{x_{0}+y_{0}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2},\\[4pt] v_{0} = \dfrac{x_{0}-y_{0}}{\sqrt{2}} = 0. \end{cases}
Isso dá x_{0}=y_{0}=2\]. Logo o centro é \((2,2).]
Passo 5
Na forma canônica \bigl(u-2\sqrt2\bigr)^{2}/6 - v^{2}/30 =1, o eixo transverso está no sentido do eixo u, que em x,y é a reta y=x. Os vértices satisfazem
Sobre ela, coloque os vértices \bigl(2+\sqrt3,2+\sqrt3\bigr) e \bigl(2-\sqrt3,2-\sqrt3\bigr).
Desenhe as assíntotas (linhas que passam pelo centro com inclinações \pm1\pm\sqrt5, mas basta o traçado aproximado formando um “X” em (2,2)).
Finalmente, desenhe as duas ramas da hipérbole abrindo-se ao longo de y=x.
Resposta
A cônica é uma hipérbole de centro (2,2), com eixo principal na direção y=x e vértices em \bigl(2\pm\sqrt3,2\pm\sqrt3\bigr). O esboço mostra duas ramas simétricas abrindo-se sobre a reta y=x com centro em (2,2).