[1] Identifique e esboce a cônica 3 x^{2}+3 y^{2}-2 x-10 x y-14 y=13.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica
3x^{2}+3y^{2}-2x-10xy-14y=13.
Aqui vamos usar classificação de cônicas pelo discriminante, achar o centro via derivadas parciais, depois eliminar termos lineares (translação) e o termo em xy (rotação de eixos).

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0:
A=3,\quad B=-10,\quad C=3,\quad D=-2,\quad E=-14,\quad F=-13.
O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC = (-10)^{2} - 4\cdot3\cdot3 = 100 - 36 = 64 > 0,
logo a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

O centro (x_{0},y_{0}) satisfaz
\frac{\partial f}{\partial x}=6x-2-10y=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=6y-14-10x=0.
Isso dá o sistema
6x-10y=2, \quad -10x+6y=14,
cuja solução é
x_{0}=-\tfrac{19}{8}, \quad y_{0}=-\tfrac{13}{8}.

Passo 4

Fazendo a translação
x=x'+x_{0}, \quad y=y'+y_{0},
eliminam-se os termos lineares. Substituindo e calculando o termo independente obtém‐se
3x'^{2}+3y'^{2}-10x'y'+\tfrac{3}{4}=0,
que, multiplicando por 4, fica
12x'^{2}-40x'y'+12y'^{2}=-3.

Passo 5

Para eliminar o termo em x'y' fazemos a rotação de eixos
x'=\frac{X-Y}{\sqrt2}, \quad y'=\frac{X+Y}{\sqrt2},
isto é \theta=\pi/4. Usando
x'^{2}+y'^{2}=X^{2}+Y^{2}, \quad x'y'=\frac{X^{2}-Y^{2}}{2},
a parte quadrática vira
3(X^{2}+Y^{2})-10\frac{X^{2}-Y^{2}}{2} =-2X^{2}+8Y^{2}.
Assim a equação passa a ser
-2X^{2}+8Y^{2}+\tfrac{3}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad 8X^{2}-32Y^{2}=3.

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 3, obtemos a forma canônica da hipérbole
\frac{X^{2}}{3/8}-\frac{Y^{2}}{3/32}=1.
Logo
a^{2}=\tfrac{3}{8},\quad b^{2}=\tfrac{3}{32},
vértices em (X,Y)=(\pm\sqrt{3/8},0) e assimptotas
Y=\pm\frac{b}{a}\,X = \pm\tfrac12\,X.

Passo 7

Para esboçar:
– O centro é \bigl(-\tfrac{19}{8},-\tfrac{13}{8}\bigr).
– A hipérbole abre ao longo do eixo X do sistema girado em 45^\circ.
– Os vértices estão a uma distância \sqrt{3/8} do centro nesse eixo.
– As assimptotas são retas que passam pelo centro com inclinação \pm\tfrac12 no sistema (X,Y), o que dá retas giradas em 45^\circ também no plano original.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em \bigl(-\tfrac{19}{8},-\tfrac{13}{8}\bigr), e na forma canônica (após translação e rotação de \pi/4)
\frac{X^{2}}{3/8}-\frac{Y^{2}}{3/32}=1.
O esboço mostra duas ramificações simétricas em torno das direções a 45^\circ, com vértices a \pm\sqrt{3/8} do centro e assimptotas Y=\pm\tfrac12X no sistema rotacionado.

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