[1] Identifique e esboce a cônica
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica
Aqui vamos usar classificação de cônicas pelo discriminante, achar o centro via derivadas parciais, depois eliminar termos lineares (translação) e o termo em
(rotação de eixos).
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma geral
:
O discriminante é
logo a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
O centro
satisfaz
Isso dá o sistema
cuja solução é
Passo 4
Fazendo a translação
eliminam-se os termos lineares. Substituindo e calculando o termo independente obtém‐se
que, multiplicando por 4, fica
Passo 5
Para eliminar o termo em
fazemos a rotação de eixos
isto é
. Usando
a parte quadrática vira
Assim a equação passa a ser
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 3, obtemos a forma canônica da hipérbole
Logo
vértices em
e assimptotas
Passo 7
Para esboçar:
– O centro é .
– A hipérbole abre ao longo do eixo do sistema girado em
.
– Os vértices estão a uma distância do centro nesse eixo.
– As assimptotas são retas que passam pelo centro com inclinação no sistema
, o que dá retas giradas em
também no plano original.
– O centro é
– A hipérbole abre ao longo do eixo
– Os vértices estão a uma distância
– As assimptotas são retas que passam pelo centro com inclinação
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em
, e na forma canônica (após translação e rotação de
)
O esboço mostra duas ramificações simétricas em torno das direções a
, com vértices a
do centro e assimptotas
no sistema rotacionado.