Mostre que cada uma das transformações lineares de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} a seguir é invertível e determine a transformação linear inversa: F(x ; y ; z)=(x,-x-y, 2 x+y-z).
queremos mostrar que F é invertível (isto é, bijetora e linear) e determinar a sua inversa F^{-1}. Para isso, vamos (i) achar a matriz associada a F na base canônica, (ii) verificar que seu determinante é não nulo e (iii) resolver o sistema
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e, portanto, F também é.
Passo 4
Para achar F^{-1}\), escrevemos
\[(u,v,w) = F(x,y,z) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} u = x,\\\ v = -x - y,\\\ w = 2x + y - z. \end{cases}
Resolvendo em cadeia: da primeira equação (x = u]. Substituindo na segunda, v = -u - y \quad\Longrightarrow\quad y = -u - v.
Na terceira, w = 2u +(-u - v) - z = u - v - z \quad\Longrightarrow\quad z = u - v - w.
Passo 5
Logo, a inversa de F é a aplicação
F^{-1}(u,v,w) \;=\;\bigl(u,\,-u - v,\;u - v - w\bigr).
Resposta
F^{-1}(x,y,z) = \bigl(x,\,-x - y,\;x - y - z\bigr).