Mostre que cada uma das transformações lineares de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} a seguir é invertível e determine a transformação linear inversa:
F(x ; y ; z)=(x,-x-y, 2 x+y-z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
F\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad F(x,y,z) = (\,x,\,-x-y,\,2x+y-z)
queremos mostrar que F é invertível (isto é, bijetora e linear) e determinar a sua inversa F^{-1}. Para isso, vamos (i) achar a matriz associada a F na base canônica, (ii) verificar que seu determinante é não nulo e (iii) resolver o sistema
(u,v,w) = F(x,y,z)
para (x,y,z) em função de (u,v,w).

Passo 2

Na base canônica, a matriz de F é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
vamos calcular seu determinante.

Passo 3

Usando cofactores na primeira linha,
\det(A) = 1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&-1\end{pmatrix} - 0 \cdot (\cdots) + 0\cdot(\cdots) = 1\bigl((-1)\cdot(-1)-0\cdot1\bigr) = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e, portanto, F também é.

Passo 4

Para achar F^{-1}\), escrevemos \[(u,v,w) = F(x,y,z) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} u = x,\\\ v = -x - y,\\\ w = 2x + y - z. \end{cases}
Resolvendo em cadeia: da primeira equação (x = u]. Substituindo na segunda,
v = -u - y \quad\Longrightarrow\quad y = -u - v.
Na terceira,
w = 2u +(-u - v) - z = u - v - z \quad\Longrightarrow\quad z = u - v - w.

Passo 5

Logo, a inversa de F é a aplicação
F^{-1}(u,v,w) \;=\;\bigl(u,\,-u - v,\;u - v - w\bigr).

Resposta

F^{-1}(x,y,z) = \bigl(x,\,-x - y,\;x - y - z\bigr).

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