[2,5 pontos] Um astronauta cuja altura h é 1,70 \mathrm{~m} flutua “com os pés para baixo” em um ônibus espacial em órbita a uma distância \mathrm{r}=6,77.10^{6} \mathrm{~m} do centro da Terra Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional de seus pés e de sua cabeça? (Se necessário, considere MTerra =5,98.10^{24} \mathrm{~kg}, RTerra =6,37.10^{6} \mathrm{~m} e \mathrm{G}=6,67 \cdot 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{2} ).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes números diretamente do enunciado):
Altura do astronauta: h=1,70\\ \mathrm{m}.
Distância do centro da Terra até o ponto indicado no ônibus espacial: r=6,77\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional nos pés e na cabeça do astronauta, ou seja, \Delta g = g_{\text{pés}}-g_{\text{cabeça}}.
Obs.: vou tomar r como a distância do centro da Terra até os pés (o enunciado diz que o astronauta está “com os pés para baixo” a uma distância r do centro). Assim a cabeça está a uma distância r+h do centro (pois a cabeça fica mais afastada da Terra do que os pés).
Passo 2
Fórmula básica da gravidade: a aceleração gravitacional a uma distância x do centro da Terra é dada por
g(x)=\frac{G M}{x^{2}}.
Aqui:
G é a constante gravitacional,
M é a massa da Terra,
x é a distância ao centro da Terra,
g(x) é a aceleração gravitacional (em \mathrm{m/s^{2}}) nesse ponto.
logo a diferença entre pés e cabeça é uma fração da ordem de 5\times10^{-7} de g. Isso explica porque em órbita sentimos quase “microgravidade”: o gradiente é muito pequeno para alturas humanas.