[2,5 pontos] Um astronauta cuja altura h é 1,70 \mathrm{~m} flutua “com os pés para baixo” em um ônibus espacial em órbita a uma distância \mathrm{r}=6,77.10^{6} \mathrm{~m} do centro da Terra Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional de seus pés e de sua cabeça? (Se necessário, considere MTerra =5,98.10^{24} \mathrm{~kg}, RTerra =6,37.10^{6} \mathrm{~m} e \mathrm{G}=6,67 \cdot 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes números diretamente do enunciado):
  • Altura do astronauta: h=1,70\\ \mathrm{m}.
  • Distância do centro da Terra até o ponto indicado no ônibus espacial: r=6,77\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Constantes fornecidas: M_{\text{Terra}}=5,98\times10^{24}\\ \mathrm{kg}, R_{\text{Terra}}=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m} (não será necessária aqui), G=6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}/(kg\cdot s^{2})}.
O que se pede:
  • Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional nos pés e na cabeça do astronauta, ou seja, \Delta g = g_{\text{pés}}-g_{\text{cabeça}}éç.
Obs.: vou tomar r como a distância do centro da Terra até os pés (o enunciado diz que o astronauta está “com os pés para baixo” a uma distância r do centro). Assim a cabeça está a uma distância r+h do centro (pois a cabeça fica mais afastada da Terra do que os pés).

Passo 2

Fórmula básica da gravidade: a aceleração gravitacional a uma distância x do centro da Terra é dada por
g(x)=\frac{G M}{x^{2}}.
Aqui:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da Terra,
  • x é a distância ao centro da Terra,
  • g(x) é a aceleração gravitacional (em \mathrm{m/s^{2}}) nesse ponto.

Passo 3

Expressar g nos pés e na cabeça:
g_{\text{pés}}=\frac{G M}{r^{2}},\qquad g_{\text{cabeça}}=\frac{G M}{(r+h)^{2}}.éç
A diferença exata é
\Delta g = g_{\text{pés}}-g_{\text{cabeça}} =G M\left(\frac{1}{r^{2}}-\frac{1}{(r+h)^{2}}\right).éç
Essa expressão é exata e correta. Para simplificar os cálculos, podemos desenvolver uma aproximação válida porque h é muito menor que r ( h\ll r).

Passo 4

Aproximação para h\ll r (explicação didática):
  • A função g(x)=G M x^{-2} tem derivada
\frac{d g}{d x} = -2\frac{G M}{x^{3}}.
  • Para variação pequena \Delta x=h, a variação em g é aproximadamente \Delta g \approx \dfrac{d g}{d x}\Big|_{x=r}\cdot \Delta x.
  • Como g diminui com x, temos
g_{\text{pés}}-g_{\text{cabeça}}\approx -\frac{d g}{d x}\Big|_{x=r}\,h =2\frac{G M}{r^{3}}\,h.éç
Portanto a fórmula prática e muito usada para gradiente gravitacional é
\Delta g \approx 2\frac{G M}{r^{3}}\,h.
(obs.: essa aproximação equivale à expansão em série de (r+h)^{-2} até ordem linear em h. O termo em h^{2} é desprezível aqui.)

Passo 5

Agora calculamos numericamente passo a passo usando os dados dados:
  • Primeiro calcule G M:
G M=(6,67\times10^{-11})(5,98\times10^{24}) =3,98866\times10^{14}\\ (\mathrm{SI}).
  • Calcule r^{3}:
r^{3}=(6,77\times10^{6})^{3}\approx 3,1056\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcule o numerador 2GMh:
2\,G M\,h = 2\cdot(3,98866\times10^{14})\cdot(1,70) \approx 1,35614\times10^{15}.
  • Finalmente,
\Delta g \approx \frac{1,35614\times10^{15}}{3,1056\times10^{20}} \approx 4,37\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Interpretação e contexto (rápida e útil para a prova):
  • O valor é muito pequeno: \Delta g\approx 4,37\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s^{2}}, isto é alguns micros \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para comparar, a gravidade naquele raio é aproximadamente
g(r)=\frac{G M}{r^{2}}\approx \frac{3,98866\times10^{14}}{(6,77\times10^{6})^{2}}\approx 8,70\\ \mathrm{m/s^{2}},
logo a diferença entre pés e cabeça é uma fração da ordem de 5\times10^{-7} de g. Isso explica porque em órbita sentimos quase “microgravidade”: o gradiente é muito pequeno para alturas humanas.

Resposta

4,37\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados