Sejam os vetores
e
, calcule:
o ângulo entre
e
o ângulo entre
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede: calcular o ângulo entre os vetores
e . - Dados:
-
. -
.
-
Passo 2
Entendendo a ideia geométrica e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e sem mistério).
- Geometricamente, o produto escalar (dot product) relaciona diretamente o ângulo entre dois vetores. Para dois vetores
e ,
onde:
-
é o produto escalar, -
e são os comprimentos (normas) dos vetores, -
é o ângulo entre eles (o que queremos). - Dessa relação isolamos o cosseno do ângulo:
- Então o plano de ataque é: calcular
, calcular e , montar a razão e aplicar .
Passo 3
Como calcular produto escalar e norma (relembrando com calma).
- Produto escalar em coordenadas: se
e , então
- Norma (comprimento) é
- Aplicando isso aos nossos vetores (vou mostrar cada produto/termo para você ver que não tem segredo).
Passo 4
Calcular o produto escalar
.
- Escrevendo coordenadas:
-
. -
(repare que a componente em de é ).
-
- Usando a fórmula:
- Calculando termo a termo:
-
, -
, -
.
-
- Somando:
Passo 5
Calcular as normas
e
.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Montar a expressão para
e simplificar.
- Usando a fórmula do Passo 2:
- Multiplicando as raízes:
- Portanto:
Passo 7
Obter
(exata e aproximada) e interpretar o resultado.
- A forma exata é
- Para usar na prova normalmente é aceitável deixar em forma de
. Se precisar do valor numérico em graus: - Primeiro calcule
(aproximadamente ). - Depois
.
- Primeiro calcule
- Em radianos isso dá aproximadamente