Sejam os vetores \mathbf{a}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{b}=4 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}, calcule:
o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede: calcular o ângulo entre os vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Dados:
    • \mathbf{a}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
    • \mathbf{b}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}.

Passo 2

Entendendo a ideia geométrica e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e sem mistério).
  • Geometricamente, o produto escalar (dot product) relaciona diretamente o ângulo entre dois vetores. Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar,
  • |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}| são os comprimentos (normas) dos vetores,
  • \theta é o ângulo entre eles (o que queremos).
  • Dessa relação isolamos o cosseno do ângulo:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}.
  • Então o plano de ataque é: calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}, calcular |\mathbf{a}| e |\mathbf{b}|, montar a razão e aplicar \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 3

Como calcular produto escalar e norma (relembrando com calma).
  • Produto escalar em coordenadas: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Norma (comprimento) é
|\mathbf{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • Aplicando isso aos nossos vetores (vou mostrar cada produto/termo para você ver que não tem segredo).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.
  • Escrevendo coordenadas:
    • \mathbf{a}=(3,-2,1).
    • \mathbf{b}=(4,2,0) (repare que a componente em \mathbf{k} de \mathbf{b} é 0).
  • Usando a fórmula:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\cdot4+(-2)\cdot2+1\cdot0.
  • Calculando termo a termo:
    • 3\cdot4=12,
    • (-2)\cdot2=-4,
    • 1\cdot0=0.
  • Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=12-4+0=8.

Passo 5

Calcular as normas |\mathbf{a}| e |\mathbf{b}|.
  • Para \mathbf{a}=(3,-2,1):
|\mathbf{a}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
  • Para \mathbf{b}=(4,2,0):
|\mathbf{b}|=\sqrt{4^2+2^2+0^2}=\sqrt{16+4+0}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 6

Montar a expressão para \cos\theta e simplificar.
  • Usando a fórmula do Passo 2:
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{20}}.
  • Multiplicando as raízes:
\sqrt{14}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{280}=2\sqrt{70}.
  • Portanto:
\cos\theta=\frac{8}{2\sqrt{70}}=\frac{4}{\sqrt{70}}.

Passo 7

Obter \theta (exata e aproximada) e interpretar o resultado.
  • A forma exata é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{70}}\right).
  • Para usar na prova normalmente é aceitável deixar em forma de \operatorname{arccos}. Se precisar do valor numérico em graus:
    • Primeiro calcule \dfrac{4}{\sqrt{70}} (aproximadamente 0,478).
    • Depois \theta\approx\operatorname{arccos}(0,478)\approx 61{,}44^\circ.
  • Em radianos isso dá aproximadamente
\theta\approx 1{,}073\\ \text{rad}.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{70}}\right)
\theta\approx 61{,}44^\circ

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