Sejam os vetores \mathbf{a}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{b}=4 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}, calcule:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado nos deu os vetores:
\mathbf{a}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{b}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}
E pede para calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.

Passo 2

Definição e formula que vou usar. Para vetores em coordenadas cartesianas, o produto escalar é dado por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z,
onde a_x,a_y,a_z são as componentes de \mathbf{a} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} respectivamente, e b_x,b_y,b_z são as componentes de \mathbf{b}.
Intuição rápida: esse produto combina componentes correspondentes; geometricamente \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores (mas para calcular numericamente usamos a soma das componentes, como acima).

Passo 3

Extrair as componentes de cada vetor (peguei estes números do enunciado):
a_x=3,\qquad a_y=-2,\qquad a_z=1,
b_x=4,\qquad b_y=2,\qquad b_z=0
(repare que \mathbf{b} não tem componente em \mathbf{k}, então b_z=0).

Passo 4

Calcular os produtos parciais componente a componente:
a_x b_x = 3\cdot 4 = 12,
a_y b_y = (-2)\cdot 2 = -4,
a_z b_z = 1\cdot 0 = 0.
Nota rápida: cuidado com o sinal quando uma componente é negativa — por isso coloquei parênteses em (-2).

Passo 5

Somar os produtos parciais para obter o produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=12+(-4)+0=8.
Pequena interpretação: como \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=8>0, o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é agudo. Se quiser, dá para calcular \cos\theta usando as normas:
|\mathbf{a}|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14},\qquad |\mathbf{b}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{8}{\sqrt{14}\,2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}}.
Mas isso é só um bônus — a questão pedia só \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.

Resposta

8

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