1. [2,5 pontos] Um banco fez uma revisão de sua politica de cartões de crédito com a intençăo de cancelar alguns contratos de cartర్es. No passado, aproximadamente 5 \% dos titulares de cartões de crédito se tornaram inadimplentes, deixando o banco incapaz de cobrar o saldo devedor. Portanto, a gerência estabeleceu uma probabilidade a priori de 0,05 de que qualquer portador de cartâo de crédito em particular se tornará inadimplente. O banco também descobriu que a probabilidade de os clientes que năo săo inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal é 0,20. Naturalmente, a probabilidade de os inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal é 1 .
    a) Dado que o cliente tenha deixado de efetuar um ou mais pagamentos mensais, calcule a probabilidade de que o cliente se tome inadimplente.
    b) O banco gostaria de cancelar o cartâo de crédito se a probabilidade de um cliente tornar-se inadimplente for maior que 0,20 . O banco deveria cancelar o cartâo se o cliente deixar de efetuar um pagamento mensal? Por quê?
  2. [2,5 pontos] Um processo de produção é responsável por fabricar milhares de peças por dia. Em média, 1 \% das peças é defeituoso, e essa média nấo varia com o tempo. A toda hora, uma amostra aleatória de 100 peças é selecionada de uma esteira, e várías caracteristicas săo observadas e medidas em cada uma; no entanto, o inspetor classifica a peça como boa ou defeituosa. A probabilidade da peça ser defeituosa é 0,01 . O inspetor tem instruçöes para parar o processo se a amostra tiver mais de duas peças defeituosas. Qual a probabilidade de o inspetor parar o processo? Qual o número esperado de peças defeituosas e a variância?

Passo 1

Na parte (2) temos um cliente que vira inadimplente com probabilidade a priori P(I)=0,05 e não inadimplente com P(\neg I)=0,95. Sabemos que a probabilidade de deixar de pagar mensalidade dado que é inadimplente é P(M\mid I)=1 e dado que não é inadimplente é P(M\mid\neg I)=0,20. Queremos calcular P(I\mid M) e comparar com o limiar de cancelamento 0,20.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Bayes:
P(I\mid M) =\frac{P(M\mid I)\,P(I)}{P(M\mid I)\,P(I)+P(M\mid\neg I)\,P(\neg I)} =\frac{1\cdot0,05}{1\cdot0,05+0,20\cdot0,95} =\frac{0,05}{0,05+0,19} =\frac{0,05}{0,24}\approx0,2083.
Como \,P(I\mid M)\approx0,2083>0,20, o banco deveria cancelar o cartão se o cliente deixar de efetuar um pagamento mensal, pois a probabilidade de inadimplência excede o limiar de 0,20.

Passo 3

Na parte (3) temos X\sim\mathrm{Bin}(n=100,p=0,01). O inspetor para o processo se X>2. Precisamos de P(X>2), de \mathbb{E}[X] e de \mathrm{Var}(X).

Passo 4

P(X>2) =1-\sum_{k=0}^{2}\binom{100}{k}(0,01)^k(0,99)^{100-k}.
Calculando numericamente:
P(0)\approx0,99^{100}\approx0,366,\quad P(1)\approx100\cdot0,01\cdot0,99^{99}\approx0,3695,
P(2)\approx\binom{100}{2}0,01^2\,0,99^{98}\approx0,1849,
logo
P(X>2)\approx1-(0,366+0,3695+0,1849)\approx0,0796.

Passo 5

Para a binomial vale
\displaystyle\mathbb{E}[X]=np=100\cdot0,01=1
e
\displaystyle\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=100\cdot0,01\cdot0,99=0,99.

Resposta

2a) \displaystyle P(\text{inadimplente}\mid\text{não pagamento})\approx0,2083.ã
2b) Sim. Como 0,2083>0,20, a probabilidade excede o limiar de cancelamento.
3) \displaystyle P(\text{parar})\approx0,0796,\quad \mathbb{E}[X]=1,\quad \mathrm{Var}(X)=0,99.

Exercícios relacionados